局所収束定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/11 06:20 UTC 版)
初期値 x 0 {\displaystyle x_{0}} を解の十分近くに選ぶことを要求した上で、 f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0\,} の解を考える（解の存在を仮定する）。 f ( x ) {\displaystyle f(x)} の x = x 0 {\displaystyle x=x_{0}} でのテーラー展開をすると f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + O ( ( x − x 0 ) 2 ) {\displaystyle f(x)=f(x_{0})+f^{\prime }(x_{0})(x-x_{0})+O((x-x_{0})^{2})} このとき、(右辺)=0の解は、(左辺)=0の根の x 0 {\displaystyle x_{0}} での多項式次数一次の近似となっている。右辺の解は x = x 0 − f ( x 0 ) f ′ ( x 0 ) {\displaystyle x=x_{0}-{\frac {f(x_{0})}{f^{\prime }(x_{0})}}} 次に、この近似値が、 x 0 {\displaystyle x_{0}} より根に近づいているということに関する意味を考える。上式を、次のような離散力学系として考える。 x n + 1 = g ( x n ) {\displaystyle x_{n+1}=g(x_{n})} , ただし g ( x ) = x − f ( x ) f ′ ( x ) {\displaystyle g(x)=x-{\frac {f(x)}{f'(x)}}} この力学系において、 f ( x ∗ ) = 0 {\displaystyle f(x^{*})=0} となる x ∗ {\displaystyle x^{*}} は明らかに固定点である。 したがって | g ′ ( x ∗ ) | < 1 {\displaystyle |g'(x^{*})|<1} 、つまり x ∗ {\displaystyle x^{*}} が沈点(アトラクター、安定固定点)であり、与えられた初期条件 x 0 {\displaystyle x_{0}} が、このアトラクターの吸引領域に属していれば x n {\displaystyle x_{n}} の ω {\displaystyle \omega } -極限( n → ∞ {\displaystyle n\rightarrow \infty } )は f ( x ∗ ) = 0 {\displaystyle f(x^{*})=0} となる x ∗ {\displaystyle x^{*}} に収束する。 x ∗ {\displaystyle x^{*}} が沈点である保証は、常に担保されてはいない。例えばx軸の漸近線や関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} の極値近傍では固定点が不安定になる事が知られている。 たとえば f ( x ∗ ) {\displaystyle f(x^{*})} を、適当な近傍の点 x n {\displaystyle x_{n}} で展開すると f ′ ( x ∗ ) ≠ 0 {\displaystyle f'(x^{*})\neq 0} なら、二次の余剰項 R 2 = f ″ ( ξ n ) 2 ( x n − x ∗ ) 2 {\displaystyle R_{2}={\frac {f''(\xi _{n})}{2}}(x_{n}-x^{*})^{2}} として x n + 1 − x ∗ = − f ″ ( ξ n ) 2 f ′ ( x n ) ( x n − x ∗ ) 2 {\displaystyle x_{n+1}-x^{*}=-{\frac {f''(\xi _{n})}{2f'(x_{n})}}(x_{n}-x^{*})^{2}} よって２次で収束する。
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