対数とは？わかりやすく解説

対数（たいすう、英: logarithm）とは、ある数 $x$ を数 $b$ の冪乗 $b p$ として表した場合の冪指数 $p$ である。この $p$ は「底を $b$ とする $x$ の対数（英: logarithm of $x$ to base $b$ ; base $b$ logarithm of $x$ ）」と呼ばれ、通常は $log b x$ と書き表される。また、対数 $log b x$ に対する $x$ は真数（しんすう、英: antilogarithm）と呼ばれる。数 $x$ に対応する対数を与える関数を考えることができ、そのような関数を対数関数と呼ぶ。対数関数は通常 $log$ と表される。

通常の対数 $log b x$ は真数 $x$ , 底 $b$ を実数として定義されるが、実数の対数からの類推により、複素数や行列などの様々な数に対してその対数が定義されている。

実数の対数 $log b x$ は、底 $b$ が $1$ でない正数であり ( $b \neq 1, b > 0$ )、真数 $x$ が正数である場合 ( $x > 0$ )^{[注釈 1]} について定義される。これらの条件を満たす対数は、ある $x$ と $b$ の組に対してただ一つに定まる。

実数の対数関数 $log b x$ は底 $b$ に対する指数関数 $b x$ の逆関数である。この性質はしばしば対数関数の定義として用いられるが、歴史的には対数の出現の方が指数関数よりも先である^[1]^{[注釈 2]}。

対数関数のグラフの底を変えたときの様子。緑の曲線は底が $10$ 、赤の曲線は底がネイピア数 $e \sim 2.7$ 、紫の曲線は底が $1.7$ の対数である（底 10 の対数は常用対数、底 $e$ の対数は自然対数と呼ばれる）。すべての曲線は点 $(1, 0)$ を通り、 $y$ 軸を漸近線に持つ。

定義

一般には複素数でも定義されるが、その解説は自然対数の項目にゆずる。

指数関数を用いた定義

$1$ でない正の実数 $a$ および正の実数 $x$ に対し

x=a^{p}

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[注釈 1]

[1]

[注釈 2]

表話編歴二項演算
四則演算	加法減法乗法除法
ハイパー演算	加法乗法冪乗テトレーションペンテーション
その他	対数二項係数スターリング数階乗冪剰余演算最小公倍数最大公約数平方剰余記号
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