四次元

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四次元

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/03/20 00:27 UTC 版)

「回転 (数学)」の記事における「四次元」の解説

「四次元ユークリッド空間における回転」も参照 四次元における一般の回転は、回転の中心となる一点のみを固定し、回転軸を持たない代わりに互いに直交する二つの回転不変面（回転によって、その平面上の各点が回転の後もその平面内に留まるという意味で、固定される面）を持つ。故に四次元での回転は、各回転面においてその上の点の平面回転として定まる、二つの回転角を持つ。その回転角を ω1 および ω2 とすれば、これら回転面上にない任意の点は ω1 と ω2 の間の角を通じて回転する。 ω1 = ω2 となる場合、回転は二重回転となり、全ての点は同一の回転角を持つ。故に任意の直交二平面を回転面として取ることができる。また、ω1 と ω2 のいずれか一方が零であるときは、一方の回転面は各点が不動となり、回転は単回転になる。ω1 と ω2 がともに零であるような回転は、恒等回転である。 四次元の回転は、回転行列の一般化としての、4-次の直交行列で表される。四元数もまた四次元へ一般化された概念であり、四次元幾何代数に属する多重ベクトルともなる。第三のアプローチとして、これは四次元でしか意味を成さないけれども、単位四元数の対（英語版）を用いる方法がある。 四次元における回転の自由度は 6 であり、このことを見るには二つの単位四元数を用いるのが最も容易である（三次元球面上の点として各単位四元数の自由度は 3, 二つで 2 × 3 = 6 の自由度になる）。