可微分ベクトル束
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/21 04:18 UTC 版)
ベクトル束 (E, p, M) が滑らか (smooth) であるとは、E と M が滑らかな多様体で p: E → M が滑らかな写像であり、かつ局所自明化が微分同相となるようなときに言う。要求する滑らかさの度合いにより、各種の Cp-級ベクトル束や C∞-級ベクトル束、Cω（英語版）-級ベクトル束（実解析的ベクトル束）などの異なる概念が得られる。本節では、C∞-級ベクトル束について主に述べる。最も重要な C∞-級ベクトル束の例は、C∞-級多様体 M の接束 (TM, πTM, M) である。 C∞-級ベクトル束 (E, p, M) のもつ非常に重要な性質で、一般の C∞-級ファイバー束が持たないものがある。具体的には、各 v ∈ Ex における接空間 Tv(Ex) は、ファイバー Ex 自身と自然に同一視することができることである。この同一視は vl v w [ f ] := d d t | t = 0 f ( v + t w ) , ( f ∈ C ∞ ( E x ) ) {\displaystyle \operatorname {vl} _{v}w[f]:={\frac {d}{dt}}{\Big |}_{t=0}f(v+tw),\quad (f\in C^{\infty }(E_{x}))} で定義される垂直射あるいは垂直持ち上げ (vertical lift)vlv: Ex → Tv(Ex) によって与えられる。垂直持ち上げは自然に C∞-級ベクトル束の同型 p∗E → VE と見ることができる。ここで (p∗E, p∗p, E) は E 上のベクトル束 (E, p, M) の p: E → M に沿った引き戻し束であり、VE := Ker(p∗) ⊂ TE は垂直接束と呼ばれる、全空間 E の接束 (TE, πTE, E) の自然な部分ベクトル束である。 スリットベクトル束 (slit vector bundle) E/0 はベクトル束 (E, p, M) から零切断 0 ⊂ E を取り除くことで得られ、ここから得られる標準的なベクトル場 Vv := vlvv は標準ベクトル場 (canonical vector field) として知られる。もっときちんと言えば、V はベクトル束 (TE, πTE, E) の滑らかな切断であり、またリー群作用 Φ V : R × ( E ∖ 0 ) → ( E ∖ 0 ) ; ( t , v ) ↦ Φ V t ( v ) := e t v . {\displaystyle \Phi _{V}\colon \mathbb {R} \times (E\setminus 0)\to (E\setminus 0);\quad (t,v)\mapsto \Phi _{V}^{t}(v):=e^{t}v.} の無限小生成作用素としても定義される。 任意の滑らかなベクトル束 (E, p, M) に対して、その接束 (TE, πTE, E) の全空間 TE は自然な二次ベクトル束構造（英語版） (TE, p∗, TM) を持つ。ここで p∗ は標準射影 p: E → M の押し出し (push-forward) である。この二次ベクトル束構造におけるベクトル束演算は、もとの加法 +: E × E およびスカラー倍 λ: E → E から得られる押し出し +∗: T(E × E) → TE および λ∗: TE → TE である。
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