可微分多様体とリーマン空間

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可微分多様体とリーマン空間

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/12 03:22 UTC 版)

「空間 (数学)」の記事における「可微分多様体とリーマン空間」の解説

滑らかな多様体（可微分多様体）は、殊更に「空間」と呼びはせずとも、空間と考えることができる。定義により、与えられた滑らかな多様体において、滑らかな函数（可微分函数）、滑らかな道、滑らかな写像などから接空間が生じる。任意の滑らかな多様体は位相多様体であり、また有限次元線型空間における滑らかな曲面（多面体などではなく楕円面のような曲面）は滑らかな多様体である。任意の滑らかな多様体は、適当な次元の有限次元線型空間に埋め込むことができる。滑らかな多様体上の滑らかな道は、各点においてその点に付随する接空間に属する接ベクトルを持つ。n-次元可微分多様体に対する接空間は n-次元線型空間になる。滑らかな函数は各点において（接空間上の線型汎函数としての）微分を持つ。実（または複素）有限次元の線型、アフィン、および射影空間はそれぞれ滑らかな多様体と考えることもできる。 リーマン多様体あるいはリーマン空間は、接空間が（適当な条件を満たす）内積を持つような可微分多様体である。例えばユークリッド空間やユークリッド空間内の滑らかな曲面はリーマン空間になる。また、双曲的非ユークリッド空間もリーマン空間である。リーマン空間内の曲線は長さを持ち、最短曲線の長さによって距離が定められるから、リーマン空間は滑らかな多様体であるとともに距離空間でもある。また二つの曲線の間の角度が、それらの曲線の交点における接線の間の角度によって与えられる。 接空間上で内積の正値性を落としたものを考えれば、一般相対論で非常に重要となる、擬リーマン空間（特にローレンツ空間）を得る。