単三角行列群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/28 03:23 UTC 版)
同様の一般化として他に基本的な例に一般線型群のシロー部分群がある。n-次元ベクトル空間 V に基底 {e1, e2, …, en} を取り、1 ≤ i ≤ n の各 i について {ei, ei+1, …, en} の張る部分空間を Vi とする。また i > n のとき Vi = 0 と定める。各 1 ≤ m ≤ n に対して V の正則線型変換で各 Vi を Vi+m へ写すもの全体の成す集合 Um は Aut(V) の部分群を成す。V の係数体が Z/pZ ならば U1 は Aut(V) = GL(n, p) のシロー p-部分群であり、降中心列の各項はちょうど Um で与えられる。行列の言葉で書き下せば、 Um は対角線に全て 1 が並び、その一つとなりが上から m − 1 個まで 0 が並ぶような上三角行列の全体である。群 U1 は位数 pn(n−1)/2 かつ冪零度 n で、その冪数は pk となる。ただし、k は n の底 p に対する対数を下回らない最小の整数である。
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