他の表現論的対象への一般化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/11/21 03:00 UTC 版)
「カジュダン–ルスティック多項式」の記事における「他の表現論的対象への一般化」の解説
カジュダン・ルスティックの第2の論文において、カジュダン・ルスティック多項式の幾何学的な、すなわち旗多様体中のシューベルト多様体の特異点の幾何を用いた定義が与えられた。ルスティックのその後の多くの研究において、特異点を持つような代数多様体の中で表現論において自然に現れるような多様体、特に冪零軌道（英語版）や箙多様体（英語版）の文脈においても、カジュダン・ルスティック多項式の類似物を発見した。それらの研究によって、量子群、モジュラーリー代数（英語版）、アフィンヘッケ環（英語版）の表現論は、カジュダン・ルスティック多項式の類似物によって精密に統制されていることがわかった。それらの多項式は初等的に定義されるものの、表現論において必要となる深い性質は、例えば交叉コホモロジーや偏屈層（英語版）、ベイリンソン・ベルンシュタイン・ドリーニュの分解定理のように、洗練された現代的な代数幾何やホモロジー代数の手法から導かれる。 また、カジュダン・ルスティック多項式の係数は、ゾーゲル両側加群のなす圏の中におけるある射の空間の次元に一致すると予想されている。この予想は、任意のコクセター群に対してカジュダン・ルスティック多項式の係数の意味づけを与えるという点では、現在知られている唯一のものである。
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