モントネン・オリーブ双対性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/12 05:14 UTC 版)
「S-双対」の記事における「モントネン・オリーブ双対性」の解説
詳細は「モントネン・オリーブ双対性（英語版） 」を参照 場の量子論では、電場と磁場は電磁場と呼ばれる一つの実在に統一されていて、この場はゲージ理論あるいは、ヤン＝ミルズ理論と呼ばれる場の量子論の特別なタイプにより記述される。ゲージ理論では、物理場は高い対称性の度数を持っていて、数学的にはリー群の考えを使い理解することができる。このリー群はゲージ群として知られている。電磁場は、ゲージ群U(1)に対応する最も単純なゲージ理論により記述されるが、しかし他のより向く雑な非アーベル的ゲージ理論も存在する。 マクスウェル方程式の中の対称に相互作用する電場と磁場のゲージ理論の類似物が存在するか否かを問うという、自然な疑問がある。1970年代末にこの回答が、クラウス・モントネン（英語版）(Claus Montonen)とダヴィッド・オリーブ（英語版） により与えられた。この仕事は、より早い段階ピーター・ゴダード (物理学者)（英語版）(Peter Goddard)、ジャン・ヌイツ（英語版）(Jean Nuyts)、オリーブによる仕事の仕事に基づくものであった。彼らの仕事は、現在モントネン・オリーブの双対性（英語版）として知られてるS-双対の例をもたらした。モントネン・オリーブの双対性は、N=4 超対称ヤン・ミルズ理論と呼ばれるゲージ理論の非常に特殊なタイプに適用され、このことは 2つのその理論が正確な意味で等価ではないかということを言っている。 理論の一つがゲージ群 G {\displaystyle G} を持っていると、双対な理論はゲージ群 L G {\displaystyle {^{L}}G} を持っている。ここに L G {\displaystyle {^{L}}G} は一般には G {\displaystyle G} とは異なるラングランズ双対群を表している。 場の量子論の重要な量は、複素化された結合定数である。これは次の公式により定義される複素数である。 τ = θ 2 π + 4 π i g 2 {\displaystyle \tau ={\frac {\theta }{2\pi }}+{\frac {4\pi i}{g^{2}}}} ここに、 θ {\displaystyle \theta } はテータ角（英語版）で、理論を定義するラグラジアンに現れる量であり、 g {\displaystyle g} は結合定数である。例えば、電磁場を記述するヤン＝ミルズ理論では、この数値 g {\displaystyle g} は単に陽子に帯びている電荷 e {\displaystyle e} である。 2つの理論のゲージ群の入れ替えに加えて、モントネン・オリーブの双対性は、複素化された結合定数 τ {\displaystyle \tau } を持つ理論を、複素化された結合定数 − 1 / τ {\displaystyle -1/\tau } を持つ理論へ変換する。
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