ボイヤー・リンキスト（Boyer-Lindquist）座標による表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/20 09:58 UTC 版)
「カー解」の記事における「ボイヤー・リンキスト（Boyer-Lindquist）座標による表現」の解説
カー自身が彼の論文の中で使った座標ではないが、カー計量はボイヤー（R. H. Boyer）とリンキスト（R. W. Lindquist）によって導入された座標（ボイヤー・リンキスト座標）を用いて次のような形に書かれるのが一般的である。 d s 2 = − ( 1 − 2 M r Σ ) d t 2 − 4 a M r sin 2 θ Σ d t d ϕ + Σ Δ d r 2 + Σ d θ 2 + ( r 2 + a 2 + 2 a 2 M r sin 2 θ Σ ) sin 2 θ d ϕ 2 {\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}=&-\left(1-{\frac {2Mr}{\Sigma }}\right)dt^{2}-{\frac {4aMr\sin ^{2}\theta }{\Sigma }}dtd\phi \\&+{\frac {\Sigma }{\Delta }}dr^{2}+\Sigma d\theta ^{2}+\left(r^{2}+a^{2}+{\frac {2a^{2}Mr\sin ^{2}\theta }{\Sigma }}\right)\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}\end{aligned}}} ここで、 Σ = r 2 + a 2 cos 2 θ , Δ = r 2 − 2 M r + a 2 {\displaystyle \Sigma =r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta \,,\quad \Delta =r^{2}-2Mr+a^{2}\,} 座標の範囲は、 − ∞ < t < ∞ {\displaystyle -\infty <t<\infty } 、 − ∞ < r < ∞ {\displaystyle -\infty <r<\infty } 、 0 ≤ θ ≤ π {\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi } および 0 ≤ ϕ < 2 π {\displaystyle 0\leq \phi <2\pi } である。パラメーター M {\displaystyle M\,} や a {\displaystyle a\,} は、ブラックホールの質量 M {\displaystyle M\,} や角運動量 J = M a {\displaystyle J=Ma\,} と関係している。したがって、 M {\displaystyle M\,} は正の定数で、 a {\displaystyle a\,} は負になってもよい。回転していない場合（ a = 0 {\displaystyle a=0\,} ）、カー解は静的かつ球対称な解（シュヴァルツシルドの解）を再現する。さらに、 M = 0 {\displaystyle M=0} として質量を失くすと、平坦な時空（ミンコフスキー時空）となる。座標 r {\displaystyle r} を大きくしていくことにより、ミンコフスキー計量を再現することもできる。このことは、星から遠ざかれば遠ざかるほど星の重力は弱まっていくという直観的な理解と一致しており、漸近的平坦（asymptotically flat）であると言われる。一般には漸近的平坦という概念は自明ではない。カー計量と言うときは、ふつう、 M > 0 {\displaystyle M>0} および a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} が想定されていることが多い。代数的な性質だけに注目したいときには、座標やパラメーターの範囲をあえて忘れて取り扱うこともある。 計量の中に座標 t {\displaystyle t} や ϕ {\displaystyle \phi } が現れないので、カー時空には ∂ / ∂ t {\displaystyle \partial /\partial t} および ∂ / ∂ ϕ {\displaystyle \partial /\partial \phi } の生成する等長変換群が作用する。それらの等長変換は t → t + d t {\displaystyle t\rightarrow t+dt} 、 ϕ → ϕ + d ϕ {\displaystyle \phi \rightarrow \phi +d\phi } という変換に対応しているので、カー時空の時間並進対称性（定常性）と回転対称性（軸対称性）を示している。また、カー計量は t → − t {\displaystyle t\rightarrow -t} 、 ϕ → − ϕ {\displaystyle \phi \rightarrow -\phi } というそれぞれの変換に対して g t ϕ {\displaystyle g_{t\phi }} 成分の符号を変えるだけで、2つの変換を同時に行うと不変である。これは時間反転に対して、回転方向がちょうど反転されることを意味する。さらに、 a {\displaystyle a} の符号の反転も g t ϕ {\displaystyle g_{t\phi }} 成分の符号を変えるだけであるので、これもやはり回転方向を反転させることに対応する。 ボイヤー・リンキスト座標による表現では、カー計量は sin θ = 0 {\displaystyle \sin \theta =0} となるところ（ θ = 0 , π {\displaystyle \theta =0,\pi } ）で定義されないことが分かる。さらに、 Σ = 0 {\displaystyle \Sigma =0} （ r = 0 {\displaystyle r=0} かつ θ = π / 2 {\displaystyle \theta =\pi /2} ）または Δ = 0 {\displaystyle \Delta =0} となるところでも定義されない。後で見るように、 Σ = 0 {\displaystyle \Sigma =0} となるところはリング状の特異領域になっている。また、 Δ = 0 {\displaystyle \Delta =0} となるところは事象の地平面（event horizon）とよばれる場所であり、 Δ = 0 {\displaystyle \Delta =0} の実根の数によって、カー時空は3つの場合に分類されている。 | a | < M {\displaystyle |a|<M} のとき、 Δ = 0 {\displaystyle \Delta =0} の実根は2つある。それらを r = r ± {\displaystyle r=r_{\pm }} （ 0 < r − < r + {\displaystyle 0<r_{-}
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