ウィッテンタイプ TQFT
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/16 10:15 UTC 版)
「位相的場の理論」の記事における「ウィッテンタイプ TQFT」の解説
ウィッテンタイプの位相理論の最初の例は、1988年のウィッテンの論文(Witten 1988a)に現れ、それでは4次元の位相的なヤン＝ミルズ理論である。その作用汎関数は時空の計量 g α β {\displaystyle g_{\alpha \beta }} を含んでいるが、位相的ツイストした後では、計量独立となることが分かる。系のエネルギー・運動量テンソル T α β {\displaystyle T^{\alpha \beta }} の計量独立性は、BRST作用素（英語版）が閉じているか否かにかかっている。ウィッテンの例の後に、位相的弦理論で多くの例が発見されている。 ウィッテンタイプの位相場理論は、次の条件を満す場合に成立する。 1.TQFTの作用 S {\displaystyle S} が対称性を持つこと、つまり、 δ {\displaystyle \delta } が対称性変換を表しているとすると（例えば、リー微分）、 δ S = 0 {\displaystyle \delta S=0} を満すこと。 2.対称性変換が完全であること、つまり、 δ 2 = 0 {\displaystyle \delta ^{2}=0} であること。 3.観測可能量 O 1 , … , O n {\displaystyle O_{1},\dots ,O_{n}} が存在して、すべての i ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}} に対して δ O i = 0 {\displaystyle \delta O_{i}=0} を満すこと。 4.エネルギー・運動量テンソル（もしくは、同様の物理量）が、任意のテンソル G α β {\displaystyle G^{\alpha \beta }} に対して T α β = δ G α β {\displaystyle T^{\alpha \beta }=\delta G^{\alpha \beta }} の形をしていること。 例として、 δ 2 = 0 {\displaystyle \delta ^{2}=0} を満すような外微分（リー微分）を持つ 2-形式の場 B {\displaystyle B} がある。この場合には、 δ S = ∫ M δ ( B ∧ δ B ) = ∫ M δ B ∧ δ B + ∫ M B ∧ δ 2 B = 0 {\displaystyle \delta S=\int _{M}\delta (B\wedge \delta B)=\int _{M}\delta B\wedge \delta B+\int _{M}B\wedge \delta ^{2}B=0} であるので、作用 S = ∫ M B ∧ δ B {\displaystyle S=\int _{M}B\wedge \delta B} は対称性を持っている。さらに、（ δ {\displaystyle \delta } が B {\displaystyle B} と独立であり、汎函数微分へ同じように作用するという条件の下で） δ δ B α β S = ∫ M δ δ B α β B ∧ δ B + ∫ M B ∧ δ δ δ B α β B = ∫ M δ δ B α β B ∧ δ B − ∫ M δ B ∧ δ δ B α β B = 2 ∫ M δ B ∧ δ δ B α β B {\displaystyle {\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}S=\int _{M}{\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}B\wedge \delta B+\int _{M}B\wedge \delta {\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}B=\int _{M}{\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}B\wedge \delta B-\int _{M}\delta B\wedge {\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}B=2\int _{M}\delta B\wedge {\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}B} を満す。 δ δ B α β S {\displaystyle {\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}S} という表現は、別な 2-形式 G {\displaystyle G} を持つような δ G {\displaystyle \delta G} に比例することを意味する。 ここで、対応するハール測度に対する観測可能量 < O i >:= ∫ d μ O i e i S {\displaystyle
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