ウィッテンの3次の開弦の場の理論
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/13 15:20 UTC 版)
「弦の場の理論」の記事における「ウィッテンの3次の開弦の場の理論」の解説
最も単純で最もよく研究されている共変な相互作用を持つ弦の場の理論が、エドワード・ウィッテン(Edward Witten)により構成された。この理論は、ボゾン的な開弦の力学を記述しており、3次の頂点を自由な開弦の作用に加えることにより与えられる。 S ( Ψ ) = 1 2 ⟨ Ψ | Q B | Ψ ⟩ + 1 3 ⟨ Ψ , Ψ , Ψ ⟩ {\displaystyle S(\Psi )={\tfrac {1}{2}}\langle \Psi |Q_{B}|\Psi \rangle +{\tfrac {1}{3}}\langle \Psi ,\Psi ,\Psi \rangle } , ここに、自由弦の場合、 Ψ {\displaystyle \Psi } はBRST-量子化された自由なボゾン的な開弦のフォック空間のゴースト数 1 の元である。 3次の頂点 ⟨ Ψ 1 , Ψ 2 , Ψ 3 ⟩ {\displaystyle \langle \Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3}\rangle } は三重の線型写像で、全体でゴースト数 3 となる3つの弦の場となっている。 非可換幾何学に動機を持っていたウィッテンに従えば、次の式によって暗に定義される ∗ {\displaystyle *} -積を使うことが便利である。 ⟨ Σ | Ψ 1 ∗ Ψ 2 ⟩ = ⟨ Σ , Ψ 1 , Ψ 2 ⟩ . {\displaystyle \langle \Sigma |\Psi _{1}*\Psi _{2}\rangle =\langle \Sigma ,\Psi _{1},\Psi _{2}\rangle \ .} ∗ {\displaystyle *} -積と3次の頂点は、（下記の）いくつかの性質を満たす（ Ψ i {\displaystyle \Psi _{i}} を一般的なゴースト数を持つ場としてよい）。 サイクル性(Cyclicity) : ⟨ Ψ 1 , Ψ 2 , Ψ 3 ⟩ = ( − 1 ) g n ( Ψ 3 ) ∗ ( g n ( Ψ 2 ) + g n ( Ψ 1 ) ) ⟨ Ψ 3 , Ψ 1 , Ψ 2 ⟩ {\displaystyle \langle \Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3}\rangle =(-1)^{gn(\Psi _{3})*(gn(\Psi _{2})+gn(\Psi _{1}))}\langle \Psi _{3},\Psi _{1},\Psi _{2}\rangle } BRTST 不変性(BRST invariance) : Q B ⟨ Ψ 1 , Ψ 2 , Ψ 3 ⟩ = ⟨ Q B Ψ 1 , Ψ 2 , Ψ 3 ⟩ + ( − 1 ) g n ( Ψ 1 ) ⟨ Ψ 1 , Q B Ψ 2 , Ψ 3 ⟩ + ( − 1 ) g n ( Ψ 1 ) + g n ( Ψ 2 ) ⟨ Ψ 1 , Ψ 2 , Q B Ψ 3 ⟩ {\displaystyle Q_{B}\langle \Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3}\rangle =\langle Q_{B}\Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3}\rangle +(-1)^{gn(\Psi _{1})}\langle \Psi _{1},Q_{B}\Psi _{2},\Psi _{3}\rangle +(-1)^{gn(\Psi _{1})+gn(\Psi _{2})}\langle \Psi _{1},\Psi _{2},Q_{B}\Psi _{3}\rangle } ∗ {\displaystyle *} -積に対し、これは Q B {\displaystyle Q_{B}} が次数付き微分として作用することを意味する。 Q B ( Ψ 1 ∗ Ψ 2 ) = ( Q B Ψ 1 ) ∗ Ψ 2 + ( − 1 ) g n ( Ψ 1 ) Ψ 1 ∗ ( Q B Ψ 2 ) {\displaystyle Q_{B}(\Psi _{1}*\Psi _{2})=(Q_{B}\Psi _{1})*\Psi _{2}+(-1)^{gn(\Psi _{1})}\Psi _{1}*(Q_{B}\Psi _{2})} 結合性(Associativity) ( Ψ 1 ∗ Ψ 2 ) ∗ Ψ 3 = Ψ 1 ∗ ( Ψ 2 ∗ Ψ 3 ) {\displaystyle \left(\Psi _{1}*\Psi _{2}\right)*\Psi _{3}=\Psi _{1}*(\Psi _{2}*\Psi _{3})} 3次頂点の項では、 ⟨ Ψ 1 , Ψ 2 ∗ Ψ 3 , Ψ 4 ⟩ = ⟨ Ψ 1 , Ψ 2 , Ψ 3 ∗ Ψ 4 ⟩ {\displaystyle \langle \Psi _{1},\Psi _{2}*\Psi _{3},\Psi _{4}\rangle =\langle \Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3}*\Psi _{4}\rangle } 以上の方程式では、 g n ( Ψ ) {\displaystyle gn(\Psi )} で Ψ {\displaystyle \Psi } のゴースト数を表す。
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