その他のエアリー分布
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/10 08:13 UTC 版)
「ファブリ・ペロー干渉計」の記事における「その他のエアリー分布」の解説
内部共鳴増強因子、一般エアリー分布が導かれれば、その他のエアリー分布は単純にスケーリング因子により導かれる。共振器への透過光強度は鏡 1 への入射光強度の透過分であるから、次のように書ける。 I laun = ( 1 − R 1 ) I inc {\displaystyle I_{\text{laun}}=\left(1-R_{1}\right)I_{\text{inc}}} そして、鏡 2 の透過光と反射光、および鏡 1 の透過光は共振器内部で循環する光の透過・反射成分であるから、それぞれ次のように書ける。 I trans = ( 1 − R 2 ) I circ , {\displaystyle I_{\text{trans}}=\left(1-R_{2}\right)I_{\text{circ}},} I b-circ = R 2 I circ , {\displaystyle I_{\text{b-circ}}=R_{2}I_{\text{circ}},} I back = ( 1 − R 1 ) I b-circ {\displaystyle I_{\text{back}}=\left(1-R_{1}\right)I_{\text{b-circ}}} したがって、共振器内への透過光 Ilaun に対するその他のエアリー分布 A および入射光 Iinc に対するエアリー分布 A′ は次のように書ける。 A circ = 1 R 2 A b-circ = 1 R 1 R 2 A RT = 1 1 − R 2 A trans = 1 1 − R 1 A back = 1 1 − R 1 R 2 A emit , {\displaystyle A_{\text{circ}}={\frac {1}{R_{2}}}A_{\text{b-circ}}={\frac {1}{R_{1}R_{2}}}A_{\text{RT}}={\frac {1}{1-R_{2}}}A_{\text{trans}}={\frac {1}{1-R_{1}}}A_{\text{back}}={\frac {1}{1-R_{1}R_{2}}}A_{\text{emit}},} A circ ′ = 1 R 2 A b-circ ′ = 1 R 1 R 2 A RT ′ = 1 1 − R 2 A trans ′ = 1 1 − R 1 A back ′ = 1 1 − R 1 R 2 A emit ′ , {\displaystyle A_{\text{circ}}^{\prime }={\frac {1}{R_{2}}}A_{\text{b-circ}}^{\prime }={\frac {1}{R_{1}R_{2}}}A_{\text{RT}}^{\prime }={\frac {1}{1-R_{2}}}A_{\text{trans}}^{\prime }={\frac {1}{1-R_{1}}}A_{\text{back}}^{\prime }={\frac {1}{1-R_{1}R_{2}}}A_{\text{emit}}^{\prime },} A circ ′ = ( 1 − R 1 ) A circ {\displaystyle A_{\text{circ}}^{\prime }=(1-R_{1})A_{\text{circ}}} 下付きの“emit”は共振器の両側から放射される総和強度を考慮したエアリー分布であることを表わす。 後方放射 Iback は、実際には最初の反射光と後方透過光とが干渉するため測定することができない。これらの干渉の結果、観測可能な光のエアリー分布は以下のように書ける。 A refl ′ = I refl I inc = | E refl | 2 | E i n c | 2 = ( R 1 − R 2 ) 2 + 4 R 1 R 2 sin 2 ( ϕ ) ( 1 − R 1 R 2 ) 2 + 4 R 1 R 2 sin 2 ( ϕ ) {\displaystyle A_{\text{refl}}^{\prime }={\frac {I_{\text{refl}}}{I_{\text{inc}}}}={\frac {\left|E_{\text{refl}}\right|^{2}}{\left|E_{inc}\right|^{2}}}={\frac {\left({{\sqrt {R_{1}}}-{\sqrt {R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}} いかなる周波数に対しても、どんな干渉があったとしてもエネルギーが保存することはすぐに示すことができる。 A trans ′ + A refl ′ = I trans + I refl I inc = 1 {\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }+A_{\text{refl}}^{\prime }={\frac {I_{\text{trans}}+I_{\text{refl}}}{I_{\text{inc}}}}=1} 外部共鳴増強因子（右図参照）は以下のようになる A circ ′ = I circ I i n c = ( 1 − R 1 ) A circ = 1 − R 1 ( 1 − R 1 R 2 ) 2 + 4 R 1 R 2 sin 2 ( ϕ ) {\displaystyle A_{\text{circ}}^{\prime }={\frac {I_{\text{circ}}}{I_{inc}}}=(1-R_{1})A_{\text{circ}}={\frac {1-R_{1}}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}} 共鳴周波数 νq においては sin(ϕ) = 0 が成り立つので、以下のように書ける。 A circ ′ ( ν q ) = 1 − R 1 ( 1 − R 1 R 2 ) 2 {\displaystyle A_{\text{circ}}^{\prime }(\nu _{q})={\frac {1-R_{1}}{\left(1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\right)^{2}}}} 通常、光はファブリ・ペロー共振器を透過する。したがって、よく適用されるエアリー分布は以下のものである。 A trans ′ = I trans I inc = ( 1 − R 1 ) ( 1 − R 2 ) A circ = ( 1 − R 1 ) ( 1 − R 2 ) ( 1 − R 1 R 2 ) 2 + 4 R 1 R 2 sin 2 ( ϕ ) {\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }={\frac {I_{\text{trans}}}{I_{\text{inc}}}}=(1-R_{1})(1-R_{2})A_{\text{circ}}={\frac {(1-R_{1})(1-R_{2})}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}} これは光源から鏡 1 に入射する光の強度 Iinc に対する鏡 2 の透過光の強度 Itrans の比を表わす（右図参照）。この関数の νq におけるピーク値は A trans ′ ( ν q ) = ( 1 − R 1 ) ( 1 − R 2 ) ( 1 − R 1 R 2 ) 2 {\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }(\nu _{q})={\frac {(1-R_{1})(1-R_{2})}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}}}} であり、R1 = R2 のときピーク値は 1 となる。 A′trans を循環場アプローチにより導出する場合、鏡を透過する光が eiπ/2 だけ位相シフトを受けることを考慮して以下のように導出される。 E circ = i t 1 E inc + r 1 r 2 e − i 2 ϕ E circ ⇒ E circ E inc = i t 1 1 − r 1 r 2 e − i 2 ϕ , {\displaystyle E_{\text{circ}}=it_{1}E_{\text{inc}}+r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }E_{\text{circ}}\Rightarrow {\frac {E_{\text{circ}}}{E_{\text{inc}}}}={\frac {it_{1}}{1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }}},} E trans = i t 2 E circ e − i ϕ ⇒ E trans E inc = − t 1 t 2 e − i ϕ 1 − r 1 r 2 e − i 2 ϕ {\displaystyle E_{\text{trans}}=it_{2}E_{\text{circ}}e^{-i\phi }\Rightarrow {\frac {E_{\text{trans}}}{E_{\text{inc}}}}={\frac {-t_{1}t_{2}e^{-i\phi }}{1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }}}} A trans ′ = I trans I inc = | E trans | 2 | E inc | 2 = | − t 1 t 2 e − i ϕ | 2 | 1 − r 1 r 2 e − i 2 ϕ | 2 = ( 1 − R 1 ) ( 1 − R 2 ) ( 1 − R 1 R 2 ) 2 + 4 R 1 R 2 sin 2 ( ϕ ) {\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }={\frac {I_{\text{trans}}}{I_{\text{inc}}}}={\frac {\left|E_{\text{trans}}\right|^{2}}{\left|E_{\text{inc}}\right|^{2}}}={\frac {\left|-t_{1}t_{2}e^{-i\phi }\right|^{2}}{\left|1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }\right|^{2}}}={\frac {(1-R_{1})(1-R_{2})}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}} また、A′ は往復減衰アプローチを適用して、Einc が共振器に入射したのち無限回往復するうち、毎往復ごとに透過する電場を蓄積して Etrans となると考えて導出することもできる。最初に透過してきた電場は段々と減衰し、共振器中の各回目の透過電場は次の漸化式で表わせる。 E trans , 1 = E inc i t 1 i t 2 e − i ϕ = − E inc t 1 t 2 e − i ϕ , {\displaystyle E_{{\text{trans}},1}=E_{\text{inc}}it_{1}it_{2}e^{-i\phi }=-E_{\text{inc}}t_{1}t_{2}e^{-i\phi },} E trans , m + 1 = E trans , m r 1 r 2 e − i 2 ϕ {\displaystyle E_{{\text{trans}},m+1}=E_{{\text{trans}},m}r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }} これを足し合わせるとこのようになる。 ∑ m = 0 ∞ x m = 1 1 − x ⇒ E trans = ∑ m = 1 ∞ E trans , m = E i n c − t 1 t 2 e − i ϕ 1 − r 1 r 2 e − i 2 ϕ {\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }x^{m}={\frac {1}{1-x}}\Rightarrow E_{\text{trans}}=\sum _{m=1}^{\infty }E_{{\text{trans}},m}=E_{inc}{\frac {-t_{1}t_{2}e^{-i\phi }}{1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }}}} したがって Etrans / Einc は先述のアプローチによるものと同一となり、A′ も同一となる。
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