ニュートン‐の‐うんどうほうそく〔‐ウンドウハフソク〕【ニュートンの運動法則】
読み方：にゅーとんのうんどうほうそく
ニュートンの運動の法則
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/18 16:05 UTC 版)
「軌道 (力学)」の記事における「ニュートンの運動の法則」の解説
相互に万有引力のみで影響を及ぼしあう2つの物体だけからなる系では、二体の軌道はニュートンの運動の法則と万有引力の法則を用いて厳密に計算することができる。力学ではこのような条件で二つの物体の運動を解く問題を二体問題と呼ぶ。大ざっぱには、片方の物体が受ける力はその物体の質量と加速度の積になる。二体の間に働く万有引力の大きさはそれぞれの物体の質量に比例し、二体の距離の2乗に反比例する。 計算を行なう際には、質量が大きい方の物体の中心を原点とする座標系をとると便利である。この場合には、質量が小さい方の物体が大きい方の物体の周囲を軌道運動すると考える。 物体 A と物体 B が相対的に静止している場合、A と B の距離が遠いほど両方の物体は大きなエネルギーを持っている。なぜなら静止状態での二体の距離が遠いほど、より長い距離を落下することができるからである。このように、物体間の距離に依存するような力を及ぼし合う物体同士が、その位置に応じて持つエネルギーをポテンシャルエネルギーと呼ぶ。 二体問題では物体の軌道はある平面内の曲線になる。この時、物体の軌道は開いた軌道（片方の物体がもう片方の物体に対して二度と帰ってこない軌道）になる場合と閉じた軌道（物体が帰ってくる軌道）になる場合があり、どちらになるかは系の運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの総和の値によって決まる。開いた軌道の場合、軌道上の任意の位置での物体の速度はその位置での脱出速度に等しいかそれより大きい。閉じた軌道の場合には物体の速度は常に各位置での脱出速度より小さい。 自由落下する物体の軌跡は常に円錐曲線になる。 開いた軌道の形は双曲線（物体の速度が脱出速度にちょうど等しい場合には放物線）である。この場合、二つの物体は互いにしばらく接近し、最接近の前後で互いの周りを大きく回り込んで再び離れ、二度と帰ってこない。太陽に対して十分に大きな力学的エネルギーを持つ彗星がたまたま太陽に接近するような場合にはこのような軌道をとる。 閉じた軌道の形は楕円（速度がある特定の値をとる場合には円）である。地球の周りを軌道運動する物体が地球に最も近づく点を近地点 (perigee) と呼ぶ。地球以外の天体の周りを公転する一般の場合には近点 (periapsis / apofocus / apocentron) と呼ぶ。これに対して地球から最も遠ざかる点を遠地点 (apogee) または一般に遠点 (apoapsis / apofocus / apocentron) と呼ぶ。近点から遠点に引いた直線を line-of-apsides と呼ぶ。これは楕円軌道の長軸であり、軌道の差し渡しが最も長い位置になる。 閉じた軌道を持つ物体は一定の周期で軌道上を運動し続ける。この運動はケプラーの法則によって経験的に記述され、数学的にはニュートンの法則から導かれるものである。これらの法則は以下のように定式化される。 太陽の周りを公転する惑星の軌道は楕円であり、その楕円の焦点の1つに太陽が位置する。従って軌道は軌道面と呼ばれる平面上にある。軌道上で引力を及ぼす天体に最も近い点が近点であり、最も遠い点が遠点である。特定の天体を回る軌道については以下のようなそれぞれの用語がある：太陽を公転する天体の場合は近日点 (perihelion) と遠日点 (aphelion)、地球を公転する天体の場合は近地点 (perigee) と遠地点 (apogee)、月を公転する天体の場合は近月点 (perilune / periselene) と遠月点 (apolune / aposelene) と呼ぶ。太陽以外の恒星を公転する天体の場合は近星点 (periastron) と遠星点 (apastron) と呼ぶ。 惑星がある一定時間軌道上を運動する時、太陽と惑星を結ぶ線分は軌道面上の一定面積を掃く。この面積速度は惑星が軌道周期内でどの位置にあるかによらず常に一定である。このことは、近日点の近くでは遠日点の近くよりも惑星は速く動くことを意味する。この法則は通常、面積速度一定の法則と呼ばれる。 各惑星について、その軌道長半径の3乗と軌道周期の2乗との比は全ての惑星で同じ定数値をとる。 4つ以上の物体からなる系では、ラグランジュ点のような特殊な場合を除いて運動方程式を解く方法は知られていない。二体問題の解は1687年にニュートンによって『プリンキピア』の中で発表されている。1912年にはフィンランドのK.F.スンドマンが三体問題を解くための無限級数を導いたが、この方法は非常に収束が遅いためにほとんど使われていない。 天体の軌道の厳密解を得る代わりに、任意の精度で近似解を得ることもできる。このような近似には二つの形式がある。 1つの形式は、純粋な楕円運動を基本として、これに複数天体からの重力の影響を表す摂動項を付け加えるものである。これは天体の位置を計算するのに便利な方法である。月や惑星、その他の太陽系天体の運動方程式は高い精度で得られており、天測航法に使うための天体暦を編纂するためにこの方法が用いられている。 科学計算や宇宙探査計画のための目的には、微分方程式の形式が使われる。ニュートンの法則によれば、全ての力の合計は質量と加速度の積で表される (F = ma)。従って、加速度を位置の関数として表すことができる。この形式を使うと摂動項をずっと簡単に記述できる。初期状態での位置と速度から未来の位置と速度を予言する計算は微分方程式の初期値問題を解くことに対応する。すなわち、初期値から時刻が少し後の天体の位置と速度を数値的に計算し、これを繰り返すことで解を得る。しかしこの方法では、計算機が持つ演算精度の限界によって微小な計算誤差が生じるため、数値積分の方法によっては誤差が累積し、解の精度も制限される。 これと同様の微分方程式を解く方法によって、多体問題と呼ばれるような非常に多数の天体からなる系のシミュレーションも行なわれている。実際には全ての二体間に働く力を直接計算する直接N体計算と呼ばれる手法や、天体を重心間の二体問題として階層的に集合化して計算する方法などがある。このような方法で銀河や星団、その他の大規模な天体のシミュレーションが行なわれている。
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