大数の法則大数の法則の概要

たとえばサイコロを振り、出た目を記録することを考える。この試行回数を限りなく増やせば、出た目の標本平均が目の期待値である $3.5$ の近傍から外れる確率はいくらでも小さくなる。これは大数の法則から導かれる帰結の典型例である。より一般に、大数の法則は「独立同分布に従う可積分系確率変数列の標本平均は平均に収束する」と述べられる。

厳密には、大数の法則は収束をどのようにとらえるかに応じて、ヤコブ・ベルヌーイによる大数の弱法則 (WLLN: Weak Law of Large Numbers) と、エミール・ボレルやアンドレイ・コルモゴロフによる大数の強法則 (SLLN: Strong Law of Large Numbers) の2つに大別される。単に「大数の法則」と言った場合、どちらを指しているのかは文脈により判断する必要がある。

脚注

^ この名前はシメオン・ドニ・ポアソンに由来する。
^ つまり、独立にベルヌーイ分布に従う確率変数列が与えられた場合を例として考える。
^ つまり ${\bar {X}}_{n}$ が $μ$ に確率収束する： ${\bar {X}}_{n}{\overset {P}{\longrightarrow }}\mu \ (n\to \infty ).$
^ つまり ${\bar {X}}_{n}$ が $μ$ に概収束する： ${\bar {X}}_{n}{\overset {\text{a.s.}}{\longrightarrow }}\mu \ (n\to \infty ).$

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「大数の法則」の続きの解説一覧

[1] この名前はシメオン・ドニ・ポアソンに由来する。

[2] つまり、独立にベルヌーイ分布に従う確率変数列が与えられた場合を例として考える。

[3] つまり ${\bar {X}}_{n}$ が $μ$ に確率収束する： ${\bar {X}}_{n}{\overset {P}{\longrightarrow }}\mu \ (n\to \infty ).$

[4] つまり ${\bar {X}}_{n}$ が $μ$ に概収束する： ${\bar {X}}_{n}{\overset {\text{a.s.}}{\longrightarrow }}\mu \ (n\to \infty ).$

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