Q-構成
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/02/14 09:27 UTC 版)
詳細は「Q-構成（英語版） 」を参照 Q-構成は、プラス構成と同じ結果をもたらすのであるが、より一般的な状況へ適用される。さらに、この定義は、Q-構成が定義により函手性を持っている定義であるという意味で、より直接的である。この事実は、プラス構成では自動的ではない。 P を完全函手であるとして、P に付随する新しい圏 QP が定義されると、その対象は P の対象であり、M から M への射は、図式 M ′ ⟵ N ⟶ M ″ , {\displaystyle M'\longleftarrow N\longrightarrow M'',} のクラスに同型である。ここに最初の矢印は許容的な全準同型(epimorphism)であり、第二の矢印は許容的な単準同型(monomoorphism)である。 よって、完全圏 P の i-番目の K-群は、固定したゼロ対象 0 を持つ K i ( P ) = π i + 1 ( B Q P , 0 ) {\displaystyle K_{i}(P)=\pi _{i+1}(\mathrm {BQ} P,0)} で定義される。ここに、BQP は QP の分類空間であり、分類空間は QP のナーブ（英語版）(nerve)の幾何学的実現（英語版）(geometric realisation)である。 この定義は、K0(P) の上記の定義と同値である。P が有限生成射影 R-加群の圏であれば、この定義は上記 BGL+ と一致する。この定義はすべての n について Kn(R) の定義である。さらに一般的に、スキーム X に対し、X の高次 K-群は、X 上の局所自由な連接層の K-群であると定義される。 次のような変形も使われる。有限生成である射影（= 局所自由な）加群は、有限生成加群である。この結果として現れる K-群は通常、Gn(R) と書かれる。R がネーター正則環であれば、G-理論と K-理論は一致する。実際、正則環の大域次元は有限である。つまり、任意の有限生成加群は、有限の射影分解 P* → M を持ち、簡単な議論でも、標準写像 K0(R) → G0(R) は同型であり、 [M]=Σ ± [Pn] を持っている。この同型は高次 K-群へも拡張できる。
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