Classification of discontinuities

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不連続性の分類

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/07/03 00:03 UTC 版)

連続関数は数学およびその応用において非常に重要である。しかし、関数が全て連続というわけではない。ある関数がその定義域内のある点で連続でないとき、その関数は不連続性 (discontinuity) を有する。関数の不連続点全体の成す集合は離散集合の場合もあるし、稠密集合の場合もある。場合によっては定義域全体と同じとなるかもしれない。

本項目では、最も単純な実一変数で実数を値にとる函数の場合における不連続性の分類を述べる。

不連続性の分類

実軸上の点 x₀ の近傍で定義される実変数 x の実数値をとる函数 f が点 x = x₀ で不連続という場合を考える。便宜のため、

${\begin{aligned}L^{-}&:=\lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)=f(x_{0}-0),\\L^{+}&:=\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)=f(x_{0}+0)\end{aligned}}$

例 1: 除去可能な不連続性

1. 函数

$f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\mbox{ for }}x<1\\0&{\mbox{ for }}x=1\\2-x&{\mbox{ for }}x>1\end{cases}}$

例 2: 跳躍不連続性

2. 函数

$f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\mbox{ for }}x<1\\0&{\mbox{ for }}x=1\\2-(x-1)^{2}&{\mbox{ for }}x>1\end{cases}}$

例 3: 真性不連続性

3. 函数

$f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {5}{x-1}}&{\mbox{ for }}x<1\\0&{\mbox{ for }}x=1\\{\frac {0.1}{x-1}}&{\mbox{ for }}x>1\end{cases}}$

を考えれば、点 x₀ = 1 は真性不連続点である。真性不連続点であるためには、極限のどちらか一方が存在しないか無限大であればよい。なお、この例の関数を複素数変数に拡張しても、その不連続性は真性不連続性である。

関数の不連続点の集合

函数の連続点の全体からなる集合は開集合の可算個の交わり（G_δ-集合）である。また不連続点の全体は閉集合の可算個の合併（F_σ-集合）である。

単調関数の不連続点は高々可算である。これをフローダの定理という。

トマエ函数は、全ての有理数の点で不連続だが、全ての無理数の点で連続である。

ディリクレ函数として知られる、有理数全体の集合の指示函数は至る所不連続である。

関連項目

• 可除特異点
• 特異点 (数学)
• 連続的延長

参考文献

• Malik, S. C.; Arora, Savita (1992). Mathematical analysis, 2nd ed. New York: Wiley. ISBN 0470218584 

外部リンク

• Discontinuous - PlanetMath.org（英語）
• "Discontinuity" by Ed Pegg, Jr., The Wolfram Demonstrations Project, 2007.
• Weisstein, Eric W. "Discontinuity". MathWorld (英語).

Weblio日本語例文用例辞書

「Classification of discontinuities」の例文・使い方・用例・文例

• Microsoftがβ版をランチするのは「NetShow streaming server」で動画や音声をオンデマンドで提供する。
• 《主に米国で用いられる》 ＝ 《主に英国で用いられる》 an admiral of the fleet 海軍元帥.
• 篏入的 r 音 《英音の India office /ndiərfɪs/の /r/の音》.
• ＝《口語》 These kind of stamps are rare. この種の[こういう]切手は珍しい.
• (英国の)運輸省. the Ministry of Education(, Science and Culture) (日本の)文部省.
• は of の誤植です.
• を off と誤植する.
• あいまい母音 《about, sofa などの /ə/》.
• 副詞的小詞 《on, in, out, over, off など》.
• 迂言的属格 《語尾変化によらず前置詞によって示す属格; たとえば Caesar's の代わりの of Caesar など》.
• çon of garlic [humor]. それにはガーリック[ユーモア]がちょっぴり必要だ.
• 《主に米国で用いられる》 ＝ 《主に英国で用いられる》 the Speaker of the House of Commons 下院議長.
• 《主に米国で用いられる》 ＝ 《主に英国で用いられる》 the Committee of Ways and Means 歳入委員会.
• 初めて読んだ英文小説は“The Vicar of Wakefield”
• （違法罪―a sin of commission―に対する）怠惰罪
• 『each』、『every』、『either』、『neither』、『none』が分配的、つまり集団の中の1つのものを指すのに対し、『which of the men』の『which』は分離的である
• 『hot off the press（最新情報）』は『hot（最新の）』の拡張感覚を示している
• 『Each made a list of the books that had influenced him』における制限節は、リストに載った本を制限節で定義された特定の本だけに制限する
• 臨床的鬱病を治療するのに用いられる三環系抗鬱薬（商品名ImavateとTofranil）
• 『sunshine-roof』は『sunroof（サンルーフ）』に対する英国の用語である