Brillouin and Langevin functions

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ブリルアン関数とランジュバン関数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/01/30 22:46 UTC 版)

ブリルアン関数

ブリルアン関数 (―関数、Brillouin function、ブリュアン関数、ブリユアン関数^[1]とも）^[2][3]は以下で定義される特殊関数である。

${\displaystyle B_{J}(x)={\frac {2J+1}{2J}}\coth \left({\frac {2J+1}{2J}}x\right)-{\frac {1}{2J}}\coth \left({\frac {1}{2J}}x\right)}$

ランジュバン関数（赤）と${\displaystyle \tanh {(x/3)}}$（青）の比較

古典的な極限では、モーメントは磁場中で連続的に整列し、${\displaystyle J}$は全ての値をとり得る (${\displaystyle J\to \infty }$) とみなせる。この場合、ブリルアン関数はより簡単なランジュバン関数 (Langevin function) になる。ランジュバン関数はポール・ランジュバンにちなんで名づけられた。

${\displaystyle L(x)=\coth(x)-{\frac {1}{x}}}$

高温の極限

${\displaystyle x\ll 1}$の場合、即ち${\displaystyle \mu _{\rm {B}}H/k_{\rm {B}}T}$が小さい場合、ブリルアン関数の振る舞いは、

${\displaystyle B_{J}(x)\simeq {\frac {J+1}{J}}{\frac {x}{3}}}$

と近似される。よって、磁化の式は

${\displaystyle M=C\cdot {\frac {H}{T}}}$

となり、キュリーの法則を導くことができる。ここで${\displaystyle C={\frac {Ng^{2}\mu _{\rm {B}}^{2}J(J+1)}{3k_{\rm {B}}}}}$はキュリー定数である。また、${\displaystyle g{\sqrt {J(J+1)}}}$は有効ボーア磁子数とよばれる。

高磁場の極限

${\displaystyle x\to \infty }$の場合、ブリルアン関数は1に近づく。磁気モーメントは印加磁場に対して完全に整列し、磁化が飽和する。

${\displaystyle M=Ng\mu _{\rm {B}}J}$

参考文献

1. ^ 『学術用語集』物理学編(増訂版)^{[リンク切れ]}
2. ^ ^{a b c} C. Kittel, Introduction to Solid State Physics (8th ed.), pages 303-4 ISBN 978-0471415268
3. ^ Darby, M.I. (1967), “Tables of the Brillouin function and of the related function for the spontaneous magnetization”, Brit. J. Appl. Phys. 18: 1415–1417, doi:10.1088/0508-3443/18/10/307 
4. ^ “アーカイブされたコピー”. 2008年9月18日時点のオリジナル^{[リンク切れ]}よりアーカイブ。2008年8月2日閲覧。