1レベルの変換
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/16 06:10 UTC 版)
信号 x {\displaystyle x} の離散ウェーブレット変換は、一組のフィルターを通すことによって計算される。ここではリフティングスキームではなく1989年に発表された手法を説明する。 下記の関係性を満たす y l o w [ k ] {\displaystyle y_{\mathrm {low} }[k]} と y h i g h [ k ] {\displaystyle y_{\mathrm {high} }[k]} を x [ k ] {\displaystyle x[k]} から計算するのが離散ウェーブレット変換である。j は入力依存の何らかの整数。 ϕ ( t ) {\displaystyle \phi (t)} はスケーリング関数、 ψ ( t ) {\displaystyle \psi (t)} はウェーブレット関数。 ∑ k x [ k ] ϕ ( 2 j t − k ) = ∑ k y l o w [ k ] ϕ ( 2 j − 1 t − k ) + ∑ k y h i g h [ k ] ψ ( 2 j − 1 t − k ) {\displaystyle \sum _{k}x[k]\phi (2^{j}t-k)=\sum _{k}y_{\mathrm {low} }[k]\phi (2^{j-1}t-k)+\sum _{k}y_{\mathrm {high} }[k]\psi (2^{j-1}t-k)} 最初に入力信号列から x [ k ] {\displaystyle x[k]} を計算しないといけないが、ハールウェーブレットや Bior2.2 双直交ウェーブレットの場合は、入力信号の解像度と同じ解像度のスケーリング関数を使えば、 x [ k ] {\displaystyle x[k]} = 入力信号列になり、特に計算は不要となる。 信号は、インパルス応答が g {\displaystyle g} であるローパスフィルタと、同じく h {\displaystyle h} であるハイパスフィルタを利用して分解される。得られた出力は、ハイパスフィルタから得たものを詳細係数(detail coefficients)、ローパスフィルタから得たものを近似係数(approximation coefficients)とよぶ。これら2つのフィルタは互いに密接な関係があり、直交ミラーフィルタとして知られたものである。 y l o w [ n ] = ∑ k = − ∞ ∞ x [ k ] g [ 2 n − k ] {\displaystyle y_{\mathrm {low} }[n]=\sum \limits _{k=-\infty }^{\infty }{x[k]g[2n-k]}} y h i g h [ n ] = ∑ k = − ∞ ∞ x [ k ] h [ 2 n − k ] {\displaystyle y_{\mathrm {high} }[n]=\sum \limits _{k=-\infty }^{\infty }{x[k]h[2n-k]}} 次に、半分にダウンサンプリングを行う。この分解によって、時間解像度は元の信号の半分になり、周波数解像度は2倍となる。これは、ハイゼンベルクの不確定性原理を満たしている。 フィルタ解析のブロックダイアグラム ダウンサンプリングのオペレータとして ↓ {\displaystyle \downarrow } を使う。 ( y ↓ k ) [ n ] = y [ k ⋅ n ] {\displaystyle (y\downarrow k)[n]=y[k\cdot n]} 以上の式をまとめると以下のようになる。 y l o w = ( x ∗ g ) ↓ 2 {\displaystyle y_{\mathrm {low} }=(x*g)\downarrow 2} y h i g h = ( x ∗ h ) ↓ 2 {\displaystyle y_{\mathrm {high} }=(x*h)\downarrow 2} しかしながら、 x ∗ g {\displaystyle x*g} の計算の後にダウンサンプリングがあるため、計算に無駄がある。リフティングスキームは、この点を改善している。
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