高次元の「面」
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/02/01 16:26 UTC 版)
n-次元超多面体の面次元英語日本語−1∅ (空集合) 0vertex 頂点 1edge 辺 2face 面 3cell 胞 ⋮⋮ ⋮ kk-face k-次元面 ⋮⋮ ⋮ n − 3peak ピーク n − 2ridge リッジ n − 1facet ファセット nbody (全体) 高次元幾何学において、超多面体の面とは、その任意の次元の要素を言う。k 次元の面を k-次元面 (k-face) と呼ぶ。通常の多面体の多角形面は、二次元面である。超多面体の面全体の成す集合には超多面体自身と空集合が含まれ、一貫性のため空集合の「次元」は −1 が与えられる。任意の n-次元超多面体に対し、その面集合は −1 ≤ k ≤ n なる任意の k に対する k-次元面のすべてからなる。 この意味で例えば、立方体の面集合は、空集合、頂点 (零次元面)、辺 (一次元面)、正方形面 (二次元面) と立方体自身 (三次元面) からなる。 四次元の多胞体の面は以下のように分類できる: 四次元面: 多胞体自身 三次元面: 多面体胞（英語版） 二次元面: 多角形面 一次元面: 辺 零次元面: 頂点 (−1)-次元面: 空集合 多面体的組合せ論（英語版）のような一部の分野では、超多面体（ポリトープ）は定義により凸である。この場合は厳密に、ポリトープ P の面とは P と 任意の閉半空間（英語版）でその境界が P の内部と交わらないものとの交わりを言う。この定義から、ポリトープの面全体の成す集合がポリトープ自身と空集合を持つことが従う。 抽象超多面体（英語版）論や星型超多面体（英語版）論などほかの分野では、超多面体の凸性は前提としない。抽象論においてもやはり、面全体の成す集合には超多面体自身と空集合を含める。
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