順列と確率
確率を求めるためには，全体の場合の数と，ある条件を満たす場合の数とを数え上げることが必要であるが，その際，順列・組合せの考え方が有用である（場合の数があまり大きくないときには，全ての場合を，漏れなく重複なく列挙するのが有効であり，非常に大きくなったときにも，その考え方は変わらないが，順列・組合せの考え方を用いると簡単である）。
順列
n 個の異なるものから，r 個をとって 1 列に並べたものを，n 個のものから r 個をとる 順列 といい，この順列の総和を nPr で表す。
nPr = n ( n - 1 ) ( n - 2 ) … ( n - r + 1 )
特に，nPn = n ( n - 1 ) ( n - 2 ) … 3 ・ 2 ・ 1 は 1 から n までの自然数の積であり，n ! で表し，n の 階乗 という。この記法を用いると，
nPr = n ! / ( n - r ) !
となる（ 0 ! = 1 と定義する ）。
例題：
0，1，2， … ，9 の数字を書いた 10 枚のカードをよく切り，ランダムに 4 枚を抜き出して順に 1 列に並べる。このときできる整数が 7000 以上になる確率を求めよ。
解答：
- 1 番目の場所には，10 枚のカードのどれを入れてもよいから 10 通りの入れかたがある。
- 次にその各々の入れかたに対して，2 番目の場所には 1 番目に入れたものを除く 9 枚のどれを入れてもよいから 9 通りの入れかたがある。
- 同様にして，3 番目の場所には 8 通り，4 番目の場所には 7 通りの入れかたがある。
- したがって，できる整数は 10P4 = 10 × 9 × 8 × 7 = 5040 通りあることがわかる。
- 7000 以上の整数ができるためには，千の位にくるカードが 7，8，9 のいずれかであることが必要であり，そうであれば十分である。したがって，千の位には 3 通りの入れかたがある。
- 次に，その各々の入れかたに対して，百，十，一の位への入れかたは，千の位に入れた 1 枚を除く 9 枚から 3 枚をとる順列を考えればよい。
- したがって，条件を満たす整数の個数は，3 × 9P3 = 3×9×8×7 = 1512 個である。
- 各順列は全て同様の確からしさで起こるから，求める確率は
3 × 9P3 / 10P4 = 3 / 10 = 0.3
である。
重複順列
n 個の異なる種類のものから，繰り返しを許して r 個をとるとき，得られる順列を，n 個のものから r 個をとる 重複順列 といい，その数は nr に等しく，nΠr で表す。
例題：
0，1，2， … ，9 の数字を書いた 10 枚のカードをよく切り，ランダムに 1 枚を抜き出す。カードをもとに戻し，よく切ってからもう一度ランダムに 1 枚を抜き出す。このような手順を 4 回繰り返して，引いたカードの数値を順に 1 列に並べる。このときできる整数が 7000 以上になる確率を求めよ。
解答：
- 1 番目の場所には 10 通りの入れかたがある。
- その各々に対して 2 番目の場所にも 10 通りの入れかたがある。
- 同様に，3，4 番目の場所にも 10 通りの入れかたがある。すなわち，10Π4 = 104 = 10000 通りの可能性がある。
- 次に，7000 以上の整数が得られるのは，千の位に 7，8，9 が来るときで，その各々の入れかたに対して，百，十，一の位への入れかたは 10Π3 = 103 通りある。
- したがって，条件を満たす整数の個数は，3 × 10Π3 = 3×103 = 3000 個である。
- 各順列は全て同様の確からしさで起こるから，求める確率は
3 × 10Π3 / 10Π4 = 3 / 10 = 0.3
である。
組合せ
n 個の異なるものから，r 個をとってできる組を，n 個のものから r 個をとる 組合せ といい，この総数を nCr で表す。
となり，nC0 = 1 となることもわかる。
例題：
52 人のクラスで，うち 17 人は女子である。このクラスで，くじ引きによって 4 人の委員を選ぶとき，4 人とも女子になる確率を求めよ。
解答：
- 52 人から 4 人を選ぶ選び方は 52C4 通りある。
- 4 人の委員が全員女子である組み合わせは 17C4 通りある。
- 各組あわせは同様の確からしさで起こるから，求める確率は 17C4 / 52C4 = 0.0087912 である。
重複組合せ
n 個の異なるものから，繰り返しを許して r 個をとってできる組合せを，n 個のものから r 個をとる 重複組合せ といい，この総数を nHr で表す。
nHr = n + r - 1Cr
順列と確率と同じ種類の言葉
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