この項目では、連続体について説明しています。データ圧縮については「非圧縮 」をご覧ください。
連続体力学 における非圧縮性 （ひあっしゅくせい、英語 : incompressibility ）とは、連続体の密度 が変形 の前後で変化 しないような性質 を表す。連続体力学では質量保存則 を考えるため、密度が一定であるならば体積 も一定となる。非圧縮性を有する材料 として、流体 では河川 を流れる水 や音速 を超えない範囲で運動 している空気 が挙げられる。これらを総称して、非圧縮性流体 固体 の場合は、ゴム に代表される超弾性体 や降伏 した金属 などのような塑性体 が挙げられる。
非圧縮性の定式化
図1.連続体の変形
連続体力学では、次に示す変形勾配テンソル
F
{\displaystyle F}
d
x
=
F
d
X
,
F
i
j
=
∂
x
i
∂
X
j
{\displaystyle d{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {F}}d{\boldsymbol {X}},\quad F_{ij}={\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{j}}}}
ここで、
x
{\displaystyle {\boldsymbol {x}}}
κ
t
{\displaystyle \kappa _{t}}
X
{\displaystyle {\boldsymbol {X}}}
κ
0
{\displaystyle \kappa _{0}}
さらに体積変化率
J
{\displaystyle J}
F
{\displaystyle {\boldsymbol {F}}}
J
=
d
v
d
V
=
det
(
F
)
{\displaystyle J={\frac {dv}{dV}}=\det({\boldsymbol {F}})}
ここで、
d
v
{\displaystyle dv}
κ
t
{\displaystyle \kappa _{t}}
d
V
{\displaystyle dV}
κ
0
{\displaystyle \kappa _{0}}
J
{\displaystyle J}
J
=
det
(
F
)
=
1
{\displaystyle J=\det({\boldsymbol {F}})=1}
流体力学との関連性 非圧縮性流体の基礎方程式 のひとつに、次に示す連続の式 がある。
d
i
v
v
=
0
,
∂
v
j
∂
x
j
=
0
{\displaystyle \mathrm {div} \,{\boldsymbol {v}}=0,\quad {\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{j}}}=0}
これは、質量保存則 および密度が一定であることを利用して導き出されるが、次のように体積変化率
J
{\displaystyle J}
物質微分 （物質時間導関数）を考えることでも導き出される。
D
J
D
t
=
J
d
i
v
v
{\displaystyle {\frac {DJ}{Dt}}=J\mathrm {div} \,{\boldsymbol {v}}}
上式に
J
=
1
{\displaystyle J=1}
D
J
D
t
=
0
{\displaystyle {\frac {DJ}{Dt}}=0}
なお、流体が非圧縮性であるか否かは流体の物性ではなく、流れの性質、具体的にはマッハ数 による[1]
固体力学との関連性 固体力学において、体積ひずみという概念がある。ここでは、体積ひずみ
ϵ
V
{\displaystyle \epsilon _{V}}
J
{\displaystyle J}
変形勾配テンソル
F
{\displaystyle {\boldsymbol {F}}}
変位勾配テンソル
H
{\displaystyle {\boldsymbol {H}}}
I
{\displaystyle {\boldsymbol {I}}}
F
=
I
+
H
,
F
i
j
=
δ
i
j
+
H
i
j
{\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {I}}+{\boldsymbol {H}},\quad F_{ij}=\delta _{ij}+H_{ij}}
ここで、変形勾配テンソル
H
{\displaystyle {\boldsymbol {H}}}
d
u
=
H
d
X
,
H
i
j
=
∂
u
i
∂
X
j
{\displaystyle d{\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {H}}d{\boldsymbol {X}},\quad H_{ij}={\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{j}}}}
である。
u
{\displaystyle {\boldsymbol {u}}}
変形勾配テンソル
F
{\displaystyle {\boldsymbol {F}}}
H
i
j
{\displaystyle H_{ij}}
F
=
(
1
+
H
11
H
12
H
13
H
21
1
+
H
22
H
23
H
31
H
32
1
+
H
33
)
{\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\begin{pmatrix}1+H_{11}&H_{12}&H_{13}\\H_{21}&1+H_{22}&H_{23}\\H_{31}&H_{32}&1+H_{33}\end{pmatrix}}}
よって、体積変化率
J
{\displaystyle J}
H
i
j
{\displaystyle H_{ij}}
J
=
det
(
F
)
=
|
1
+
H
11
H
12
H
13
H
21
1
+
H
22
H
23
H
31
H
32
1
+
H
33
|
=
1
+
H
11
+
H
22
+
H
33
+
H
(
2
)
+
H
(
3
)
{\displaystyle J=\det(F)={\begin{vmatrix}1+H_{11}&H_{12}&H_{13}\\H_{21}&1+H_{22}&H_{23}\\H_{31}&H_{32}&1+H_{33}\end{vmatrix}}=1+H_{11}+H_{22}+H_{33}+H^{(2)}+H^{(3)}}
ここで、
H
(
2
)
{\displaystyle H^{(2)}}
H
(
3
)
{\displaystyle H^{(3)}}
J
=
1
{\displaystyle J=1}
H
11
+
H
22
+
H
33
+
H
(
2
)
+
H
(
3
)
=
0
{\displaystyle H_{11}+H_{22}+H_{33}+H^{(2)}+H^{(3)}=0}
微小変形を考えると、
H
(
2
)
{\displaystyle H^{(2)}}
H
(
3
)
{\displaystyle H^{(3)}}
∂
∂
X
i
≈
∂
∂
x
i
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial X_{i}}}\approx {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}}
となるため、次の式を得る。
H
11
+
H
22
+
H
33
=
∂
u
1
∂
X
1
+
∂
u
2
∂
X
2
+
∂
u
3
∂
X
3
≈
∂
u
1
∂
x
1
+
∂
u
2
∂
x
2
+
∂
u
3
∂
x
3
=
ϵ
V
=
0
{\displaystyle H_{11}+H_{22}+H_{33}={\frac {\partial u_{1}}{\partial X_{1}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial X_{2}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial X_{3}}}\approx {\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}=\epsilon _{V}=0}
上記のように、非圧縮性から体積ひずみが0となることが示された。
参考文献
^ Joel H. Ferziger; Milovan Prić 著、小林敏雄、谷口伸行、坪倉誠 訳『コンピュータによる流体力学』シュプリンガー・フェアラーク東京、2003年、2頁。ISBN 4-431-70842-1 。
関連項目
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