階冪
階冪
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/18 08:10 UTC 版)
詳細は「指数階乗」を参照 以下、↑をクヌースの矢印表記とする。 階乗が連続する整数を順に「乗」じるのに対し、連続する整数を順に冪にする演算として階「冪」 (exponential factorial) n!（感嘆符は右肩に添字として書く）は n ! = { 1 ( n = 0 ) n ( n − 1 ) ! = n ↑ ( n − 1 ) ! ( n > 0 ) {\displaystyle n^{!}={\begin{cases}1&(n=0)\\n^{{(n-1)}^{!}}=n\uparrow {(n-1)}^{!}&(n>0)\end{cases}}} で与えられる。つまり、自然数 n に対して n ! = n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋅ ⋅ ⋅ 3 2 1 = n ↑ ( n − 1 ) ↑ ( n − 2 ) ↑ ⋯ ⋯ ↑ 3 ↑ 2 ↑ 1 {\displaystyle n^{!}=n^{(n-1)^{(n-2)^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3^{2^{1}}}}}}}}=n\uparrow \left(n-1\right)\uparrow \left(n-2\right)\uparrow \cdots \cdots \uparrow 3\uparrow 2\uparrow 1} であり、最初の5つの値は次のようになる。 0! = 1, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 9, 4! = 262144, …… （オンライン整数列大辞典の数列 A049384） 5! の値は十進展開で183231桁にも及ぶきわめて大きな自然数である。 5 ! = 5 4 ! = 5 262144 ≈ 6.2 × 10 183230 . {\displaystyle 5^{!}=5^{4^{!}}=5^{262144}\approx 6.2\times 10^{183230}.} これ以降は、グーゴルプレックス 10 10 100 {\displaystyle 10^{10^{100}}} より遥かに大きくなる（6! を計算すると、およそ 66.2×10183230 ≒ 104.8×10183230 となる）。 全ての自然数の exponential factorial の逆数の総和は、 ∑ n = 1 ∞ 1 n ! = 1.611114925808376736 111 ⋯ 111 ⏟ 183213 digits 272243 ⋯ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{!}}}=1.611114925808376736\underbrace {111\cdots 111} _{\text{183213 digits}}272243\cdots } となる。この数は、超越数であり、リウヴィル数である。 また、高次 exponential factorial が定義される。例として、二次 exponential factorial は、 n ! ! = n ! 2 = ( n ! ) ( n − 1 ) ! 2 = ( n ! ) ( ( n − 1 ) ! ) ( ( n − 2 ) ! ) . . . ( 3 ! ) ( 2 ! ) 1 ! = n ! ↑ ( n − 1 ) ! ↑ ( n − 2 ) ! ↑ ⋯ ⋯ ↑ 3 ! ↑ 2 ! ↑ 1 ! {\displaystyle {\begin{aligned}n^{!!}=n^{{!}^{2}}=\left(n^{!}\right)^{(n-1)^{!^{2}}}&=\left(n^{!}\right)^{\left((n-1)^{!}\right)^{\left((n-2)^{!}\right){.^{.^{.^{\left(3^{!}\right)^{\left(2^{!}\right)^{1^{!}}}}}}}}}\\&=n^{!}\uparrow (n-1)^{!}\uparrow (n-2)^{!}\uparrow \cdots \cdots \uparrow 3^{!}\uparrow 2^{!}\uparrow 1^{!}\end{aligned}}} となる。一般の m-次 exponential factorial は、 n ! m = ( n ! ( m − 1 ) ) ( n − 1 ) ! m = n ! ( m − 1 ) ( n − 1 ) ! ( m − 1 ) . . . 2 ! ( m − 1 ) 1 ! ( m − 1 ) = n ! ( m − 1 ) ↑ ( n − 1 ) ! ( m − 1 ) ↑ ⋯ ⋯ ↑ 2 ! ( m − 1 ) ↑ 1 ! ( m − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}n^{{!}^{m}}=\left(n^{{!}^{(m-1)}}\right)^{{(n-1)}^{!^{m}}}&={n^{{!^{(m-1)}}{(n-1)^{{!^{(m-1)}}{{.}^{{.}^{{.}^{2^{{!^{(m-1)}}{1^{!^{(m-1)}}}}}}}}}}}}\\&=n^{!^{(m-1)}}\uparrow (n-1)^{!^{(m-1)}}\uparrow \cdots \cdots \uparrow 2^{!^{(m-1)}}\uparrow 1^{!^{(m-1)}}\end{aligned}}} で与えられる。ただし、n, m は自然数である。
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