錘の軌道
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/24 16:19 UTC 版)
「#オネスによるフーコーの振り子の研究」も参照 振り子の錘の軌道を複素平面上において考える。複素数 η {\displaystyle \eta } を以下のように定義する。 η = x + i ⋅ y {\displaystyle \eta =x+i\cdot y} ⋯ {\displaystyle \qquad \cdots \ } (5-1) 振り子の振幅が小さい場合、弦に働く張力 F = m g {\displaystyle F=mg} に近似できる。式(4-2)に i {\displaystyle i} を乗じて、式(4-1)と式(4-2)を複素数 η {\displaystyle \eta } で表すと以下のようになる。ただし g {\displaystyle g} は重力加速度である。 d 2 η d t 2 = − 2 i ω sin θ d η d t − g l η {\displaystyle {\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}=-2i\omega \sin \theta {\frac {d\eta }{dt}}-{\frac {g}{l}}\eta } ここで ϕ ˙ = − ω sin θ {\displaystyle {\dot {\phi }}=-\omega \sin \theta } 、 ψ = g / l {\displaystyle \psi ={\sqrt {g/l}}} と置くと、 d 2 η d t 2 + 2 i ϕ ˙ d η d t + ψ 2 η = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}+2i{\dot {\phi }}{\frac {d\eta }{dt}}+\psi ^{2}\eta =0} これは定数係数2階線形同次微分方程式であり、特性方程式を以下のように表現する。 λ 2 + 2 i ϕ ˙ λ + ψ 2 = 0 {\displaystyle \lambda ^{2}+2i{\dot {\phi }}\lambda +\psi ^{2}=0} λ {\displaystyle \lambda } について解く。ここで ϕ ˙ {\displaystyle {\dot {\phi }}} は緯度 θ {\displaystyle \theta } における自転による角速度であるため ϕ ˙ 2 ≃ 0 {\displaystyle {\dot {\phi }}^{2}\simeq 0} と近似できる。 λ = − i ϕ ˙ ± − ϕ ˙ 2 − ψ 2 ≃ − i ( ϕ ˙ ∓ ψ ) {\displaystyle \lambda =-i{\dot {\phi }}\pm {\sqrt {-{\dot {\phi }}^{2}-\psi ^{2}}}\simeq -i({\dot {\phi }}\mp \psi )} この微分方程式の解として以下の式となる。ただし A {\displaystyle A} 、 B {\displaystyle B} は複素数の積分定数である。 η = e − i ϕ ˙ t ( A e i ψ t + B e − i ψ t ) = A e i ( ψ − ϕ ˙ ) t + B e − i ( ψ + ϕ ˙ ) t {\displaystyle \eta =e^{-i{\dot {\phi }}t}\left(Ae^{i\psi t}+Be^{-i\psi t}\right)=Ae^{i(\psi -{\dot {\phi }})t}+Be^{-i(\psi +{\dot {\phi }})t}} オイラーの公式を適用する。ただし A = A 1 + i A 2 {\displaystyle A=A_{1}+iA_{2}} 、 B = B 1 + i B 2 {\displaystyle B=B_{1}+iB_{2}} とし、式(5-1)より x ( t ) = A 1 cos ( ψ − ϕ ˙ ) t − A 2 sin ( ψ − ϕ ˙ ) t + B 1 cos ( ψ + ϕ ˙ ) t + B 2 sin ( ψ + ϕ ˙ ) t {\displaystyle x(t)=A_{1}\cos(\psi -{\dot {\phi }})t-A_{2}\sin(\psi -{\dot {\phi }})t+B_{1}\cos(\psi +{\dot {\phi }})t+B_{2}\sin(\psi +{\dot {\phi }})t} y ( t ) = A 1 sin ( ψ − ϕ ˙ ) t + A 2 cos ( ψ − ϕ ˙ ) t − B 1 sin ( ψ + ϕ ˙ ) t + B 2 cos ( ψ + ϕ ˙ ) t {\displaystyle y(t)=A_{1}\sin(\psi -{\dot {\phi }})t+A_{2}\cos(\psi -{\dot {\phi }})t-B_{1}\sin(\psi +{\dot {\phi }})t+B_{2}\cos(\psi +{\dot {\phi }})t} 次に、振り子の始動時について考察する。ここで振り子の振動数に比べて地球の自転角速度は無視できるほど小さい（ ψ ≫ ϕ ˙ {\displaystyle \psi \gg {\dot {\phi }}} ）。つまり ϕ ˙ ≃ 0 {\displaystyle {\dot {\phi }}\simeq 0} と考えると、 x ( t ) = ( A 1 + B 1 ) cos ψ t − ( A 2 + B 2 ) sin ψ t {\displaystyle x(t)=(A_{1}+B_{1})\cos \psi t-(A_{2}+B_{2})\sin \psi t} y ( t ) = ( A 1 − B 1 ) sin ψ t + ( A 2 − B 2 ) cos ψ t {\displaystyle y(t)=(A_{1}-B_{1})\sin \psi t+(A_{2}-B_{2})\cos \psi t} 時刻 t = 0 {\displaystyle t=0} のとき、 y ( 0 ) = 0 {\displaystyle y(0)=0} かつ x ˙ ( 0 ) = 0 {\displaystyle {\dot {x}}(0)=0} とすると、 A 2 = B 2 = 0 {\displaystyle A_{2}=B_{2}=0} であるので x ( t ) = ( A 1 + B 1 ) cos ψ t {\displaystyle x(t)=(A_{1}+B_{1})\cos \psi t} ⋯ {\displaystyle \qquad \cdots \ } (5-2) y ( t ) = ( A 1 − B 1 ) sin ψ t {\displaystyle y(t)=(A_{1}-B_{1})\sin \psi t} ⋯ {\displaystyle \qquad \cdots \ } (5-3) A 1 ≠ B 1 {\displaystyle A_{1}\neq B_{1}} のとき、 x {\displaystyle x} と y {\displaystyle y} は以下の関係に整理することができる。 x 2 ( A 1 + B 1 ) 2 + y 2 ( A 1 − B 1 ) 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{(A_{1}+B_{1})^{2}}}+{\frac {y^{2}}{(A_{1}-B_{1})^{2}}}=1} すなわち A 1 ≠ B 1 {\displaystyle A_{1}\neq B_{1}} のとき振り子の錘の軌道が楕円になることを示している。また A 1 = B 1 {\displaystyle A_{1}=B_{1}} のとき直線となる。 式(5-2)、式(5-3)を時間微分すると x ˙ ( t ) = − ψ ( A 1 + B 1 ) sin ψ t {\displaystyle {\dot {x}}(t)=-\psi (A_{1}+B_{1})\sin \psi t} ⋯ {\displaystyle \qquad \cdots \ } (5-4) y ˙ ( t ) = ψ ( A 1 − B 1 ) cos ψ t {\displaystyle {\dot {y}}(t)=\psi (A_{1}-B_{1})\cos \psi t} ⋯ {\displaystyle \qquad \cdots \ } (5-5) 時刻 t = 0 {\displaystyle t=0} のとき式(5-2)から式(5-5)より初期条件は以下のようになる。 x ( 0 ) = ( A 1 + B 1 ) , y ( 0 ) = 0 {\displaystyle x(0)=(A_{1}+B_{1}),y(0)=0} x ˙ ( 0 ) = 0 , y ˙ ( 0 ) = ψ ( A 1 − B 1 ) {\displaystyle {\dot {x}}(0)=0,{\dot {y}}(0)=\psi (A_{1}-B_{1})} つまり、 x {\displaystyle x} 方向に錘を持ち上げてから振り下ろすことを意味し、一方で y {\displaystyle y} 方向に ψ ( A 1 − B 1 ) {\displaystyle \psi (A_{1}-B_{1})} の初期速度が生じるため、楕円運動になる。従って楕円運動を避けるためには、 y {\displaystyle y} 方向に速度が生じないようにする錘を振り下ろする必要がある。 ただし実際の振り子では、錘の振り下ろし以外にも「弦を固定する支持装置が x {\displaystyle x} 方向と y {\displaystyle y} 方向で異なる干渉が働く」「錘が完全な対称形状をしておらず、振動に伴って生じる空気抵抗が非対称に作用する」「振り子の周りの空気の流れ」などの原因によって、楕円運動が生じる。
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