無リスク資産がない場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/17 21:32 UTC 版)
「投資信託定理」の記事における「無リスク資産がない場合」の解説
2-ファンド分離定理を無リスク資産に投資できない状況で考えるために、行列計算を用いる。 σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} をポートフォリオの収益率の分散とする。 μ {\displaystyle \mu } を、分散を最小化するポートフォリオが満たすべき期待収益率の下限とする。 r {\displaystyle r} を投資可能な資産の期待収益率のベクトルとする。 X {\displaystyle X} を投資可能な資産に対して投資される富の量のベクトルとする。 W {\displaystyle W} をポートフォリオに分配される富の総量とする。 1 {\displaystyle 1} を全ての要素が1であるベクトルとする。この時、所与の期待収益率の下で、ポートフォリオの収益率の分散を最小化する問題は次のように表すことができる。 Minimize σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} subject to X T r = μ {\displaystyle X^{T}r=\mu } and X T 1 = W {\displaystyle X^{T}1=W} ここで上の添え字 T {\displaystyle ^{T}} は行列の転置を表す。目的関数におけるポートフォリオの収益率の分散は σ 2 = X T V X , {\displaystyle \sigma ^{2}=X^{T}VX,} と書くことができ、 V {\displaystyle V} は個々の資産の収益率の、正値定符号な共分散行列である。この（二階条件を満たすことが示されるような）制約付き最適化問題のラグランジュ関数は L = X T V X + 2 λ ( μ − X T r ) + 2 η ( W − X T 1 ) , {\displaystyle L=X^{T}VX+2\lambda (\mu -X^{T}r)+2\eta (W-X^{T}1),} であり、 λ {\displaystyle \lambda } と η {\displaystyle \eta } はラグランジュ乗数である。この問題は資産保有量を表す最適ベクトル X {\displaystyle X} を導くことが可能で、ラグランジュ関数の X {\displaystyle X} 、 λ {\displaystyle \lambda } 、 η {\displaystyle \eta } についての微分がゼロに等しいとし、 X {\displaystyle X} についての一階条件（英語版）を λ {\displaystyle \lambda } と η {\displaystyle \eta } について暫定的に解き、それを他の一階条件に代入して λ {\displaystyle \lambda } と η {\displaystyle \eta } をモデルのパラメーターについて解き、そしてそれらを暫定的な X {\displaystyle X} の解に代入すればよい。結果は X o p t = W Δ [ ( r T V − 1 r ) V − 1 1 − ( 1 T V − 1 r ) V − 1 r ] + μ Δ [ ( 1 T V − 1 1 ) V − 1 r − ( r T V − 1 1 ) V − 1 1 ] {\displaystyle X^{\mathrm {opt} }={\frac {W}{\Delta }}[(r^{T}V^{-1}r)V^{-1}1-(1^{T}V^{-1}r)V^{-1}r]+{\frac {\mu }{\Delta }}[(1^{T}V^{-1}1)V^{-1}r-(r^{T}V^{-1}1)V^{-1}1]} であり、ここで Δ = ( r T V − 1 r ) ( 1 T V − 1 1 ) − ( r T V − 1 1 ) 2 > 0. {\displaystyle \Delta =(r^{T}V^{-1}r)(1^{T}V^{-1}1)-(r^{T}V^{-1}1)^{2}>0.} である。単純化のために、よりコンパクトに書けば X o p t = α W + β μ {\displaystyle X^{\mathrm {opt} }=\alpha W+\beta \mu } となり、ここで α {\displaystyle \alpha } と β {\displaystyle \beta } はモデルパラメーターに依存したパラメーターのベクトルである。今、ベンチマークとなる期待収益率 μ 1 {\displaystyle \mu _{1}} と μ 2 {\displaystyle \mu _{2}} によって作られる二つの効率的なベンチマークポートフォリオを考える。するとそれらは以下のように与えられる。 X 1 o p t = α W + β μ 1 , {\displaystyle X_{1}^{\mathrm {opt} }=\alpha W+\beta \mu _{1},} X 2 o p t = α W + β μ 2 . {\displaystyle X_{2}^{\mathrm {opt} }=\alpha W+\beta \mu _{2}.} 任意の期待収益率水準 μ 3 {\displaystyle \mu _{3}} の下での最適ポートフォリオは X 1 o p t {\displaystyle X_{1}^{\mathrm {opt} }} と X 2 o p t {\displaystyle X_{2}^{\mathrm {opt} }} の加重平均として以下のように書ける。 X 3 o p t = α W + β μ 3 = μ 3 − μ 2 μ 1 − μ 2 X 1 o p t + μ 1 − μ 3 μ 1 − μ 2 X 2 o p t . {\displaystyle X_{3}^{\mathrm {opt} }=\alpha W+\beta \mu _{3}={\frac {\mu _{3}-\mu _{2}}{\mu _{1}-\mu _{2}}}X_{1}^{\mathrm {opt} }+{\frac {\mu _{1}-\mu _{3}}{\mu _{1}-\mu _{2}}}X_{2}^{\mathrm {opt} }.} この方程式は平均分散分析における2-ファンド分離定理を示している。幾何学的な解釈についてはマーコヴィッツの弾丸を参照。
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