母分散の検定

統計学用語辞典

母分散の検定

例題：
　「ある製造ラインから製造される製品 10 個の重量を測定したとき，標本不偏分散が 4.5 であった。正常な場合には分散（母分散）は 2.1 であることがわかっている。現在の製造ラインは正常であるといえるだろうか。有意水準 5% で検定を行いなさい。」


検定手順：

1. 前提
   • 帰無仮説 H0：「母分散がある値である（σ² = σ²0）」。
   • 対立仮説 H1：「母分散がある値とは異なる（σ² ≠ σ²0）」。
   • 有意水準 α で両側検定を行う（片側検定も定義できる）。
   
   
2. 以下のいずれかによって検定統計量 χ²0 を求める。
   
   1. 母平均が未知の場合
      母分散が σ²0 の正規母集団から抽出された n ケースの不偏分散を U とすると，次式の χ²0 は，自由度が n - 1 の χ² 分布に従う。
      
      例題では母平均が与えられていないので，こちらの計算式を使うことになる。
      χ²0 = ( 10 - 1 ) ・4.5 / 2.1 = 19.285714 である。
      
   2. 母平均が既知の場合
      母平均が μ，母分散が σ²0 の正規母集団からケース数 n の標本が抽出されたとき，次式の χ²0 は，自由度が n の χ² 分布に従う。
      
   
   
3. 有意確率 P を求める。
   p = Pr｛χ² ≧ χ²0｝ として，
   
   1. p ＞ 0.5 のとき … P = 2 × (1 - p)
      
   2. p ＜ 0.5 のとき … P = 2 × p
   
   χ²分布の上側確率の計算を参照すること。
   例題では，自由度 9 の χ² 分布において，P = 2 × Pr｛χ² ≧ 19.285714｝= 2 × 0.0228702 = 0.0457404 である。
   
4. 帰無仮説の採否を決める。
   
   • P ＞ α のとき，帰無仮説を採択する。「母分散はある値と異なるとはいえない」。
   • P ≦ α のとき，帰無仮説を棄却する。「母分散はある値と異なる」。
   
   例題では，有意水準 5% で検定を行うとすれば（α = 0.05），P ＜ α であるから，帰無仮説を棄却する。すなわち，「母分散は 2.1 とは異なる」といえる。