非負行列
正行列
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/17 06:59 UTC 版)
「ペロン＝フロベニウスの定理」の記事における「正行列」の解説
A = (aij) を n × n の正行列とする。すなわち、1 ≤ i, j ≤ n に対して aij > 0 が成立しているものとする。このとき、以下の性質が成立する。 ペロン根（Perron root）あるいはペロン＝フロベニウス固有値（Perron-Frobenius eigenvalue）と呼ばれるある正の実数 r が存在する。そのような r は A の固有値であり、他のすべての固有値 λ（複素数の場合もあり得る）の絶対値は、r よりも真に小さい。すなわち、|λ| < r が成立する。したがって、スペクトル半径 ρ(A) は r に等しい。 ペロン＝フロベニウス固有値は単純である。すなわち、r は A の特性多項式の単純根である。その結果、r に対応する固有空間は一次元である（左固有空間、すなわち AT の固有空間に対しても同様の性質が成り立つ）。 A には、固有値 r に対応する固有ベクトル v=(v1,…,vn) が存在して、その成分は全て正にとれる。すなわち、A v=r v かつ全ての 1 ≤ i ≤ n に対して vi> 0 であるものが存在する（同様に、正の左固有ベクトル w で、wT A = r wT および wi > 0 を満たすものが存在する）。 v の正数倍の他には、正（さらには非負）の固有ベクトルは存在しない（左固有ベクトル w についても同様）。すなわち、他のすべての固有ベクトルは必ず符号が反対の成分あるいは実数でない成分を含む。 lim k → ∞ A k / r k = v w T {\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }A^{k}/r^{k}=vw^{T}} である。ただしここでは、A の左および右の固有ベクトルは wTv = 1 が成立するように正規化されているとする。さらに、行列 v wT は r に対応する固有空間の上への射影である。この射影はペロン射影（Perron projection）と呼ばれる。 コラッツ＝ヴィーランド（Collatz-Wielandt）の公式：全ての非負かつ非ゼロのベクトル x に対して、f(x) を、xi ≠ 0 であるような全ての i について [Ax]i / xi を考えたときの最小値とする。このとき、実数値関数 f の最大値はペロン＝フロベニウス固有値である。 ミニマックスコラッツ＝ヴィーランド（Collatz-Wielandt）の公式も、上と同様の形式を持つものである：全ての（狭義に）正であるベクトル x に対し、g(x) を、すべての i について [Ax]i / xi を考えたときの最大値とする。このとき、g は実数値関数でその最小値はペロン＝フロベニウス固有値である。 ペロン＝フロベニウス固有値は、次の不等式を満たす： min i ∑ j a i j ≤ r ≤ max i ∑ j a i j . {\displaystyle \min _{i}\sum _{j}a_{ij}\leq r\leq \max _{i}\sum _{j}a_{ij}.} これらの主張はメイヤー（Meyer）による次の参考文献に見られる： chapter 8 claims 8.2.11-15 page 667 and exercises 8.2.5,7,9 pages 668-669. この定理の多くの応用において、右および左固有ベクトル v および w は、それぞれ成分の和を 1 に正規化して、（右および左の）確率固有ベクトル（stochastic eigenvector）と呼ばれる。
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正行列
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/16 05:45 UTC 版)
実行列Aについて、Aが負でないということを、Aのすべての成分が負でない、というふうに定めることができる。このとき、実行列のうちには正とも負とも言えないものもあることになる。また、実行列Aについて、Aの全ての正方部分行列の行列式が負でないとき、Aのことを完全に非負（行列理論）あるいは、完全に正（コンピュータ科学者）と呼ぶことがある。
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