材料の構成式
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| 連続体力学 | ||||||||
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材料の構成式（ざいりょうのこうせいしき、英: constitutive equation of materials）とは、物体を構成する物質の外的作用に対する応答特性を表現する関係式である。構成方程式は物質の特性を反映する関係式であるため、材料定数と呼ばれる物性量が必ず含まれている[1]。現実の物質は離散的な原子や分子の集まりであるが、構成方程式はこれらの詳細には立ち入らず連続体として理想化した場合における物理量の間の関係を記述する。材料力学においては物質の力学的特性、すなわち、外力に対する変形を表現する応力-歪みの関係式が構成方程式と呼ばれる。より広くは電磁気的な関係まで含めて構成方程式と呼ばれるが、熱力学的な関係を含む場合は状態方程式と呼び分けられる。
構成方程式は構成法則と呼ばれることもあるが、構成方程式の形は運動方程式などの基本原理から導かれるものではなく、実験に基づいた応答を現象論的に数理モデル化したものが多いことから、構成モデルとも呼ばれる。一方で、物質の微視的構造に着目して、変形の素過程に立ち返って構築された構成式もある。
構成則が具備すべき性質
物質客観性の原理
材料固有の性質は観測者（標構）によらず不変である。これを物質客観性の原理、あるいは物質標構無差別性の原理という。例えば、ある配置での構成式を形式的に
局所作用の原理
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構成則の分類
以下、τ をせん断応力、γ をせん断ひずみ、 = dτ/dt をせん断応力速度、 = dγ/dt をせん断ひずみ速度とおく。
- 弾性体
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フックの法則に従う最も一般的な固体の構成式である。G は横弾性係数と呼ばれる。
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出典は列挙するだけでなく、脚注などを用いてどの記述の情報源であるかを明記してください。- Fung, Y. C. (1977). A First Course in Continuum Mechanics (2nd edition ed.). Prentice-Hall, Inc.. ISBN 0133183114
- Lubarda, Vlado A. (2001). Elastoplasticity Theory. CRC Press. ISBN 0849311381
- Lubliner, Jacob (2008). Plasticity Theory (Revised Edition). Dover Publications. ISBN 0486462900. オリジナルの2010年3月31日時点におけるアーカイブ。
- Nemat-Nasser, Sia (2006). Plasticity: A Treatise on Finite Deformation of Heterogeneous Inelastic Materials. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0521839793
- 益田森治、室田忠雄『工業塑性力学』養賢堂、1980年、2-5頁。 ISBN 4-8425-0112-X。
- 北野正雄「磁場はBだけではうまく表せない」『大学の物理教育』第21巻第2号、日本物理学会、2015年、73-76頁、doi:10.11316/peu.21.2_73。
関連項目
外部リンク
- 『構成方程式』 - コトバンク
- “Electromagnetic Relations”. The Review of Particle Physics. Particle Data Group. 2022年2月26日閲覧。
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構成則
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/01/15 15:40 UTC 版)
弾性とは、ある位置 X {\displaystyle {\boldsymbol {X}}} の応力がそこの変形勾配 F {\displaystyle {\boldsymbol {F}}} で決まる性質を表す。このときの応力は、第一ピオラ-キルヒホッフ応力 P {\displaystyle {\boldsymbol {P}}} を用いると、 P = P ( F ( X ) , X ) {\displaystyle {\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {P}}({\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {X}}),{\boldsymbol {X}})} と書ける。 特別な場合として、ある変形区間での応力による仕事が、初期 t 0 {\displaystyle t_{0}} における状態と t {\displaystyle t} における状態のみに依存して、変形の経路に非依存なとき、この性質を超弾性という。経路非依存性より、以下に示すポテンシャル関数 Φ {\displaystyle \Phi } が得られる。 Φ ( F ( X ) , X ) = ∫ t 0 t P ( F ( X ) , X ) : F ˙ d t {\displaystyle \Phi ({\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {X}}),{\boldsymbol {X}})=\int _{t_{0}}^{t}{\boldsymbol {P}}({\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {X}}),{\boldsymbol {X}}):{\dot {\boldsymbol {F}}}dt} Φ ˙ = P : F ˙ {\displaystyle {\dot {\Phi }}={\boldsymbol {P}}:{\dot {\boldsymbol {F}}}} Φ ( F , X ) {\displaystyle \Phi ({\boldsymbol {F}},{\boldsymbol {X}})} と考えると、 Φ ˙ {\displaystyle {\dot {\Phi }}} は Φ ˙ = ∑ i , J = 1 3 ∂ Φ ∂ F i J F ˙ i J {\displaystyle {\dot {\Phi }}=\sum _{i,J=1}^{3}{\frac {\partial \Phi }{\partial F_{iJ}}}{\dot {F}}_{iJ}} と書ける。これを: Φ ˙ = P : F ˙ {\displaystyle {\dot {\Phi }}={\boldsymbol {P}}:{\dot {\boldsymbol {F}}}} と比較すると、 P i J {\displaystyle P_{iJ}} は P i J = ∂ Φ ∂ F i J {\displaystyle P_{iJ}={\frac {\partial \Phi }{\partial F_{iJ}}}} と書ける。結局、 P ( F ( X ) , X ) = ∂ Φ ( ( X ) , X ) ∂ F {\displaystyle {\boldsymbol {P}}({\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {X}}),{\boldsymbol {X}})={\frac {\partial \Phi (({\boldsymbol {X}}),{\boldsymbol {X}})}{\partial {\boldsymbol {F}}}}} と表される。ここで、 C = F T F {\displaystyle {\boldsymbol {C}}={\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {F}}} より、 Φ {\displaystyle \Phi } を C {\displaystyle {\boldsymbol {C}}} の関数として表す。 Φ ( F ( X ) , X ) = Φ ( C ( X ) , X ) {\displaystyle \Phi ({\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {X}}),{\boldsymbol {X}})=\Phi ({\boldsymbol {C}}({\boldsymbol {X}}),{\boldsymbol {X}})} 1 2 C ˙ = E ˙ {\displaystyle {\frac {1}{2}}{\dot {\boldsymbol {C}}}={\dot {\boldsymbol {E}}}} より、第二ピオラ-キルヒホッフ応力 S {\displaystyle {\boldsymbol {S}}} について同様の式展開を行うと、 Φ ˙ = ∂ Φ ∂ C : C ˙ = 1 2 S : C ˙ {\displaystyle {\dot {\Phi }}={\frac {\partial \Phi }{\partial {\boldsymbol {C}}}}:{\dot {\boldsymbol {C}}}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {S}}:{\dot {\boldsymbol {C}}}} S ( C ( X ) , X ) = 2 ∂ Φ ∂ C = ∂ Φ ∂ E {\displaystyle {\boldsymbol {S}}({\boldsymbol {C}}({\boldsymbol {X}}),{\boldsymbol {X}})=2{\frac {\partial \Phi }{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\frac {\partial \Phi }{\partial {\boldsymbol {E}}}}} となる。
※この「構成則」の解説は、「超弾性」の解説の一部です。
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