極端な形

ウィキペディア小見出し辞書

極端な形

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/08/21 08:29 UTC 版)

「マーラー体積」の記事における「極端な形」の解説

ブラシュケ・サンタローの不等式は、最大のマーラー体積を持った形は球と楕円体であるということを言っている．この結果は 3次元の場合には、ウィルヘルム・ブラシュケ（英語版）(Wilhelm Blaschke)により証明され、一般の結果は、かなり後に、ルイス・サンタロー（英語版）(Luis Santaló)により証明された。証明の方法は、シュタイナー対称化（英語版）(Steiner symmetrization)として知られているテクニックを使うもので、任意の中心対称性をもつ凸体はマーラー体積を減少させることなく、より球体に近い凸体に置き換えることができるという方法である。 知られている中で最小のマーラー体積を持つ形は、超立方体やクロスポリトープ（英語版）(cross polytope)、より一般的には、これらの 2つのタイプの形を含むハナーポリトープ（英語版）(Hanner polytope)、そしてそれらのアフィン変換である。マーラー予想(Mahler conjecture)は、これらの形のマーラー体積が n 次元の対称凸体の中では最小のマーラー体積になるのではないかという予想で、未解決な予想となっている。テレンス・タオは次のように書いている。 “ The main reason why this conjecture is so difficult is that unlike the upper bound, in which there is essentially only one extremiser up to affine transformations (namely the ball), there are many distinct extremisers for the lower bound - not only the cube and the octahedron, but also products of cubes and octahedra, polar bodies of products of cubes and octahedra, products of polar bodies of… well, you get the idea. It is really difficult to conceive of any sort of flow or optimisation procedure which would converge to exactly these bodies and no others; a radically different type of argument might be needed. ” Bourgain & Milman (1987)は、マーラー体積は超立方体の体積のスケーリングの振る舞いと合致するがより小さなある絶対的な定数 c > 0 に対して cn 掛ける球面の体積によって下からおさえられることを証明した。[訳語疑問点]このタイプの結果は逆サンタロー不等式(reverse Santaló inequality)として知られている。