抛物型変換
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/14 03:18 UTC 版)
行列式 1 の行列 H {\displaystyle {\mathfrak {H}}} で定義される、恒等変換ではないメビウス変換が抛物型 (parabolic) であるとは、 ( tr H ) 2 = 4 {\displaystyle ({\text{tr}}\,{\mathfrak {H}})^{2}=4} であるときにいう（したがってトレースは ±2 のいずれかということになるが、与えられた変換に対して H {\displaystyle {\mathfrak {H}}} は符号の違いを除いて一意だから、何れか一方のみに決まる）。事実として、一方の選択肢では H {\displaystyle {\mathfrak {H}}} は恒等行列と同じ特性多項式 X2 − 2X + 1 を持ち、したがって冪単となる。メビウス変換が抛物型となるのは、それが拡張複素平面 C^ = C ∪ {∞} に唯一つの不動点を持つときであり、かつそのときに限る。そしてそのようなことが起きるためには、メビウス変換がガウス平面上の平行移動を定める行列 ( 1 1 0 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}} に共軛な行列によって定義されるものであることが必要十分である。 C^ に与えられた点を不動点として持つ抛物型メビウス変換の全体に恒等変換をあわせて考えた集合は、 { ( 1 b 0 1 ) : b ∈ C } {\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}:b\in \mathbb {C} \right\}} の形の行列全体の成す群に同型な群を成す。これは（メビウス群の、あるいは線型代数群としての SL(2, C) の）ボレル部分群の冪単根基の例である（この概念は簡約リー群全般に対して定義される）。
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