抛物型の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/14 03:18 UTC 版)
メビウス変換 f が抛物型の場合は、不動点 γ はただひとつである。この点を ∞ へ移す変換は g ( z ) = 1 z − γ {\displaystyle g(z)={\frac {1}{z-\gamma }}} あるいは、γ 自身が無限遠点のときは恒等変換であり、変換 gfg−1 は無限遠点を固定するので、平行移動 g f g − 1 ( z ) = z + β {\displaystyle gfg^{-1}(z)=z+\beta } となる。β はこの平行移動の長さあるいは移動距離 (translation length) と呼ばれる。したがって、抛物型変換の不動点公式は 1 f ( z ) − γ = 1 z − γ + β {\displaystyle {\frac {1}{f(z)-\gamma }}={\frac {1}{z-\gamma }}+\beta } であり、これを f について解いて（行列の形に書けば） H ( β ; γ ) = ( 1 + γ β − β γ 2 β 1 − γ β ) {\displaystyle {\mathfrak {H}}(\beta ;\gamma )={\begin{pmatrix}1+\gamma \beta &-\beta \gamma ^{2}\\\beta &1-\gamma \beta \end{pmatrix}}} あるいは、γ = ∞ のときは H ( β ; ∞ ) = ( 1 β 0 1 ) {\displaystyle {\mathfrak {H}}(\beta ;\infty )={\begin{pmatrix}1&\beta \\0&1\end{pmatrix}}} を得る。ここで、β は f の特性定数ではないことに注意すべきである（抛物型変換の特性定数は常に 1 である）。得られた式から、f′(γ) = 1 がわかる。
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