非抛物型の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/14 03:18 UTC 版)
非抛物型のメビウス変換は、複素数 k によって z ↦ k z {\displaystyle z\mapsto kz} の形に表される変換（0 と ∞ が不動点）である回転・拡縮と共軛である。いま、γ1, γ2 を有限と仮定すれば、写像 g ( z ) = z − γ 1 z − γ 2 {\displaystyle g(z)={\frac {z-\gamma _{1}}{z-\gamma _{2}}}} は (γ1, γ2) を (0, ∞) に移す。一方が既に無限遠にある場合には、その無限遠点は固定して他方を 0 に送るように g を修正する。 f が相異なる不動点 γ1, γ2 を持つならば、変換 gfg−1 は 0 および ∞ を不動点に持ち、したがってそれは回転・拡縮変換 g f g − 1 ( z ) = k z {\displaystyle gfg^{-1}(z)=kz} となることがわかる。したがって変換 f の不動点方程式は f ( z ) − γ 1 f ( z ) − γ 2 = k z − γ 1 z − γ 2 {\displaystyle {\frac {f(z)-\gamma _{1}}{f(z)-\gamma _{2}}}=k{\frac {z-\gamma _{1}}{z-\gamma _{2}}}} と書くことができる。これを f について解いたものは（行列の形で書けば） H ( k ; γ 1 , γ 2 ) = ( γ 1 − k γ 2 ( k − 1 ) γ 1 γ 2 1 − k k γ 1 − γ 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {H}}(k;\gamma _{1},\gamma _{2})={\begin{pmatrix}\gamma _{1}-k\gamma _{2}&(k-1)\gamma _{1}\gamma _{2}\\1-k&k\gamma _{1}-\gamma _{2}\end{pmatrix}}} あるいは、不動点の一方が無限遠にあるときは H ( k ; γ , ∞ ) = ( k ( 1 − k ) γ 0 1 ) {\displaystyle {\mathfrak {H}}(k;\gamma ,\infty )={\begin{pmatrix}k&(1-k)\gamma \\0&1\end{pmatrix}}} となる。上述の式から、不動点における f の微分係数を f ′ ( γ 1 ) = k , f ′ ( γ 2 ) = 1 / k {\displaystyle f'(\gamma _{1})=k,\quad f'(\gamma _{2})=1/k} と計算することができる。ふたつの不動点に順序付けが与えられれば、f の乗数の一方 (k) をf の特性定数として区別することができることに注目しよう。 H ( k ; γ 1 , γ 2 ) = H ( 1 / k ; γ 2 , γ 1 ) {\displaystyle {\mathfrak {H}}(k;\gamma _{1},\gamma _{2})={\mathfrak {H}}(1/k;\gamma _{2},\gamma _{1})} であり、不動点の順序を入れ替えることは乗数の逆数を特性定数として選ぶことに相当する。 斜航型変換については、|k| > 1 なるときは常に、γ1 を反発的 (repulsive) 不動点、γ2 を吸引的 (attractive) 不動点と呼ぶ。|k| < 1 のときは役割が逆になる。
※この「非抛物型の場合」の解説は、「メビウス変換」の解説の一部です。
「非抛物型の場合」を含む「メビウス変換」の記事については、「メビウス変換」の概要を参照ください。
- 非抛物型の場合のページへのリンク
