弧長変数の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/03/30 15:24 UTC 版)
平面曲線 γ = γ(s) はその弧長変数 s によって媒介変数表示されているとする。この曲線の単位接ベクトル T(s) は、弧長を媒介変数とすることの利点として T ( s ) = γ ′ ( s ) {\displaystyle {\boldsymbol {T}}(s)=\gamma '(s)} と簡単な形に表すことができる。単位法ベクトル N(s) は T(s) に垂直な単位ベクトルで、対 (T, N) が正の向きとなるようにとる。 曲線 γ の曲率 k は、等式 T ′ ( s ) = k ( s ) N ( s ) {\displaystyle {\boldsymbol {T}}'(s)=k(s){\boldsymbol {N}}(s)} R ( s ) = 1 k ( s ) {\displaystyle R(s)={\frac {1}{k(s)}}} である。γ(s) の曲率半径の大きさは、その点において曲線を最もよく二次近似する円、つまりその点で曲線と二次の接触をもつような円（すなわち接触円）の半径に一致する。曲率半径の符号は、その接点における曲線と同じ向きに進むように媒介変数をとれば、接触円がどちらの向きに動くかを指し示すものとなる（接触円は、正ならば反時計回り、負ならば時計回りに動く）。 曲率の中心は接触円の中心をいう。曲率の中心はもちろん γ(s) の法線上の、γ(s) からの距離が R(s) のところに位置する（どちら側にあるかは曲率 k の符号で決まる）。記号で表せば、曲率中心の位置する点は E ( s ) = γ ( s ) + R ( s ) N ( s ) = γ ( s ) + 1 k ( s ) N ( s ) {\displaystyle E(s)=\gamma (s)+R(s){\boldsymbol {N}}(s)=\gamma (s)+{\frac {1}{k(s)}}{\boldsymbol {N}}(s)} である。s が変化すれば、曲率の中心はこの等式で表される平面曲線を描く。それが曲線 γ の縮閉線である。
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