弧長パラメーターによる表示
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/15 04:08 UTC 版)
「ベクトル解析」の記事における「弧長パラメーターによる表示」の解説
Cを弧長パラメーターで x ( s ) = ( x 1 ( s ) , x 2 ( s ) , x 3 ( s ) ) {\displaystyle \mathbf {x} (s)=(x_{1}(s),x_{2}(s),x_{3}(s))} と表すと、 Cに沿った線積分は、 ∫ X ( x ( s ) ) ⋅ d x d s ( s ) d s {\displaystyle \int \mathbf {X} (\mathbf {x} (s))\cdot {\operatorname {d} \mathbf {x} \over \operatorname {d} s}(s)\operatorname {d} s} と表記できる。 すでに示したように | d x d s | = 1 {\displaystyle \left|{\operatorname {d} \mathbf {x} \over \operatorname {d} s}\right|=1} が恒等的に成り立つので、内積 X ( x ( s ) ) ⋅ d x d s ( s ) {\displaystyle \mathbf {X} (\mathbf {x} (s))\cdot {\operatorname {d} \mathbf {x} \over \operatorname {d} s}(s)} は X ( x ( s ) ) {\displaystyle \mathbf {X} (\mathbf {x} (s))} をCのx(s)での接線方向の射映である。 すなわち線積分は、ベクトル場Xの、 Cの接線方向成分を積分したものである。
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