弧長パラメーター
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/15 04:08 UTC 版)
曲線Cを、 x(s)=(Cの始点からs離れた位置) とパラメトライズできる。このようなsをCの弧長パラメーターという。Cを弧長パラメーターで x ( s ) = ( x 1 ( s ) , x 2 ( s ) , x 3 ( s ) ) {\displaystyle \mathbf {x} (s)=(x_{1}(s),x_{2}(s),x_{3}(s))} と表したとき、定義より s = ∫ 0 s ‖ d x d s ‖ d s {\displaystyle s=\int _{0}^{s}\left\|{\operatorname {d} \mathbf {x} \over \operatorname {d} s}\right\|\operatorname {d} s} なので、両辺を微分すると、 1 = ‖ d x d s ‖ {\displaystyle 1=\left\|{\operatorname {d} \mathbf {x} \over \operatorname {d} s}\right\|} が恒等的に成り立つ。 従って線積分とは、 ∫ C F ( x ( s ) ) d s = ∫ 0 1 F ( x ( s ) ) ‖ d x d s ‖ d s = ∫ 0 1 F ( x ( s ) ) d s {\displaystyle \int _{C}F(x(s))\operatorname {d} s=\int _{0}^{1}F(x(s))\left\|{\operatorname {d} \mathbf {x} \over \operatorname {d} s}\right\|\operatorname {d} s=\int _{0}^{1}F(x(s))\operatorname {d} s} より、弧長でパラメトライズされた場合のF(x(s))の積分である。
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