弧連結
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/17 15:20 UTC 版)
さらに強く、弧状連結空間がその任意の相異なる二点を結ぶ道 f として常に弧 (arc)—つまり単位区間 [0, 1] と像 f([0, 1]) との間の同相写像—を選ぶことができるとき、弧連結 (arc-connected, arcwise connected) であるという。弧状連結なハウスドルフ空間は常に弧連結空間である。弧状連結だが弧連結でない空間の例を、負でない実数全体の成す集合 [0, ∞) に第二の 0 として 0′ を加えることによって作ることができる。具体的に、通常の大小関係に加えて、a が正の数ならば 0' < a であるとし、0 と 0' は比較不能であるとして半順序を与える。このとき順序位相—つまり開区間 (a, b) ≔ {x │ a < x < b}, 半開区間 [0, a) ≔ {x │ 0 ≤ x < a} および [0′, a) ≔ {x │ 0′ ≤ x < a} を開基とする位相—を入れて得られる位相空間は、T1-空間になるがハウスドルフ空間ではない。そして、0 と 0′ は道で結ぶことができるが弧で結ぶことができないのである。
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