定数 e1, e2, e3
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/09 02:15 UTC 版)
「ヴァイエルシュトラスの楕円函数」の記事における「定数 e1, e2, e3」の解説
三次の多項式方程式 4t3 − g2t − g3 = 0 とその三根 e1, e2, e3 を考える。判別式 Δ = g23 − 27g32 が零でなければ、これらの根はどの二つも相異なる。この多項式には二次の項がないから、根は e 1 + e 2 + e 3 = 0 {\displaystyle e_{1}+e_{2}+e_{3}=0} を満たす。一次の項と定数項の係数（それぞれ g2 と g3) は根と係数の関係により g 2 = − 4 ( e 1 e 2 + e 1 e 3 + e 2 e 3 ) = 2 ( e 1 2 + e 2 2 + e 3 2 ) {\displaystyle g_{2}=-4(e_{1}e_{2}+e_{1}e_{3}+e_{2}e_{3})=2(e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2})} および g 3 = 4 e 1 e 2 e 3 {\displaystyle g_{3}=4e_{1}e_{2}e_{3}} を満たす。 不変量が実数の場合には、Δ の符号は根の特性を決定する。Δ > 0 ならば、三根は全て実数で、慣習的に e1 > e2 > e3 であるものとする。Δ < 0 ならば、慣習的に α > 0, β > 0 を用いて e1 = −α + βi, e3 は e1 の複素共軛、e は非負実数となるようにする。 ヴァイエルシュトラスのペー函数の半周期 ω1/2, ω2/2 は、これらの根との間に ℘ ( ω 1 / 2 ) = e 1 , ℘ ( ω 2 / 2 ) = e 2 , ℘ ( ω 3 / 2 ) = e 3 , ( ω 3 := − ( ω 1 + ω 2 ) ) {\displaystyle \wp (\omega _{1}/2)=e_{1},\quad \wp (\omega _{2}/2)=e_{2},\quad \wp (\omega _{3}/2)=e_{3},\qquad (\omega _{3}:=-(\omega _{1}+\omega _{2}))} なる関係を持つ。ペー函数の導函数の平方は、上で述べた函数値の三次多項式に等しいから、 ℘ ′ ( ω i / 2 ) 2 = ℘ ′ ( ω i / 2 ) = 0 {\displaystyle \wp '(\omega _{i}/2)^{2}=\wp '(\omega _{i}/2)=0} が i = 1, 2, 3 に対して成り立つ。逆に、函数値がこの多項式の根に等しいならば、導函数は零になる。 g2, g3 がともに実数で Δ > 0 ならば、ei は全て実数であり、ペー函数 ℘ は 0, ω3, ω1 + ω3, and ω1 を四頂点とする矩形の周上で実数値をとる。上で述べたように根を e1 > e2 > e3 と順序付けるならば、第一半周期は実数 ω 1 / 2 = ∫ e 1 ∞ d z 4 z 3 − g 2 z − g 3 {\displaystyle \omega _{1}/2=\int _{e_{1}}^{\infty }{\frac {dz}{\sqrt {4z^{3}-g_{2}z-g_{3}}}}} になり、一方第三半周期は純虚数 ω 3 / 2 = i ∫ − e 3 ∞ d z 4 z 3 − g 2 z − g 3 {\displaystyle \omega _{3}/2=i\int _{-e_{3}}^{\infty }{\frac {dz}{\sqrt {4z^{3}-g_{2}z-g_{3}}}}} になる。
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