フェルミオンの質量
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/10 04:58 UTC 版)
「ワインバーグ＝サラム理論」の記事における「フェルミオンの質量」の解説
フェルミオンとヒッグスは湯川相互作用項で結合する。 − L y u k a w a = y i j ( e ) E i ( Φ † L j ) + y i j ( d ) D i ( Φ † Q j ) + y i j ( u ) U i ( Φ ~ † Q i ) + h . c . {\displaystyle -{\mathcal {L}}_{\mathrm {yukawa} }=y_{ij}^{(e)}\,E_{i}\,(\Phi ^{\dagger }L_{j})+y_{ij}^{(d)}\,D_{i}\,(\Phi ^{\dagger }Q_{j})+y_{ij}^{(u)}\,U_{i}\,({\tilde {\Phi }}^{\dagger }Q_{i})+\mathrm {h.c.} } ここで、 Φ ~ = ( Φ 2 † − Φ 1 † ) {\displaystyle {\tilde {\Phi }}={\begin{pmatrix}\Phi _{2}^{\dagger }\\-\Phi _{1}^{\dagger }\\\end{pmatrix}}} である。 y ( e ) , y ( d ) , y ( u ) {\displaystyle y^{(e)},y^{(d)},y^{(u)}} は湯川相互作用の結合定数である。 なお、湯川相互作用の形はゲージ原理から要請されるものではないが、例えばレプトンの項で、 Φ † L {\displaystyle \Phi ^{\dagger }L} の部分は SU(2)L 一重項となり、U(1)Y も Y=-1/2+(-1/2)=-1 となっていて（ Φ † {\displaystyle \Phi ^{\dagger }} は複素共役で符号が変わって Y=-1/2 である）、 E {\displaystyle E} と相殺され、全体としてゲージ不変性が保たれている。 ヒッグスが真空期待値を持ち、対称性を破るとき、 M i j ( e ) e i c e j + M i j ( d ) d i c d j + M i j ( u ) u i c u j + h . c . {\displaystyle M_{ij}^{(e)}\,e_{i}^{c}\,e_{j}+M_{ij}^{(d)}\,d_{i}^{c}\,d_{j}+M_{ij}^{(u)}\,u_{i}^{c}\,u_{j}+\mathrm {h.c.} } M i j ( e ) = y i j ( e ) v / 2 , M i j ( d ) = y i j ( d ) v / 2 , M i j ( u ) = y i j ( u ) v / 2 {\displaystyle M_{ij}^{(e)}=y_{ij}^{(e)}\,v/{\sqrt {2}},~M_{ij}^{(d)}=y_{ij}^{(d)}\,v/{\sqrt {2}},~M_{ij}^{(u)}=y_{ij}^{(u)}\,v/{\sqrt {2}}} となって、フェルミオンが質量を得る。ユニタリ変換で行列 M ( e ) {\displaystyle M^{(e)}} を対角化するように取り直せば、e1=e, e2=μ, e3=τ, ... となる。同様に M ( d ) , M ( u ) {\displaystyle M^{(d)},M^{(u)}} を対角化すれば、d1=d, d2=s, d3=b, ... , u1=u, u2=c, u3=t, ... となる。このとき、 u i {\displaystyle u_{i}} と d i {\displaystyle d_{i}} は二重項 Q i {\displaystyle Q_{i}} として変換するので、それぞれを同時に対角化できない。その際のずれがCKM行列である
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