定常な電流が作り出す静磁場の一般論
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/06 01:28 UTC 版)
「静磁場」の記事における「定常な電流が作り出す静磁場の一般論」の解説
本節では、真空中に定常な（つまり時刻tに依存しない）電流密度が作り出す磁束密度について、一般に成り立つ事柄について述べる。ただし、時間的な変動の影響はもちろんのこと、これ以外にも、電場や強制電荷、分極電荷の影響は排除されているものとする。本記事では、専ら体積電流密度を中心に扱い、線電流近似については、例えば等に委ねることとする。 真空中に定常な（つまり時刻tに依存しない）電流密度 i ( r ) {\displaystyle {\boldsymbol {i}}(\mathbf {r} )} が与えられたとする。このとき、 i ( r ) {\displaystyle {\boldsymbol {i}}(\mathbf {r} )} は、以下の磁気ベクトルポテンシャル A i ( r ) {\displaystyle \mathbf {A} _{\boldsymbol {i}}(\mathbf {r} )} を空間内に作り出す。 A i ( r ) = μ 0 4 π ∫ s ∈ R 3 ( i ( s ) | r − s | ) d 3 s {\displaystyle \mathbf {A} _{\boldsymbol {i}}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\int }_{\mathbf {s} \in \mathbb {R} ^{3}}\left({\frac {{\boldsymbol {i}}(\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right)\ d^{3}\mathbf {s} } （1-1） となる。 B i = rot [ A i ] {\displaystyle \mathbf {B} _{\boldsymbol {i}}=\operatorname {rot} [\mathbf {A} _{\boldsymbol {i}}]} を考え併せると、 i ( r ) {\displaystyle {\boldsymbol {i}}(\mathbf {r} )} が直接的に作り出す磁束密度 B i {\displaystyle \mathbf {B} _{\boldsymbol {i}}} は、 B i ( r ) = μ 0 4 π ∫ s ∈ R 3 ( i ( s ) × ( r − s ) | r − s | 3 ) d 3 s {\displaystyle \mathbf {B} _{\boldsymbol {i}}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbf {s} \in \mathbb {R} ^{3}}\left({\frac {{\boldsymbol {i}}(\mathbf {s} )\times (\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |^{3}}}\right)d^{3}\mathbf {s} } （1-2） となる。これは、すなわち、ビオ・サバールの法則である。 上記の B i ( r ) {\displaystyle \mathbf {B} _{\boldsymbol {i}}(\mathbf {r} )} に対し、新たな場 H i {\displaystyle {\mathbf {H} }_{\boldsymbol {i}}} を、 H i ( r ) := 1 μ 0 B i ( r ) {\displaystyle \mathbf {H} _{\boldsymbol {i}}(\mathbf {r} ):={\frac {1}{{\mu }_{0}}}\mathbf {B} _{\boldsymbol {i}}(\mathbf {r} )} (1-3) と定義する。この場のことを、「電流密度iが作り出す磁場」と呼ぶ。ここでμ0は、真空の透磁率である。尚、定義の上では、「電流密度iが作り出す磁場」 H i {\displaystyle {\mathbf {H} }_{\boldsymbol {i}}} は、透磁率がμの場所でも、: H i ( r ) := 1 μ 0 B i ( r ) {\displaystyle \mathbf {H} _{\boldsymbol {i}}(\mathbf {r} ):={\frac {1}{{\mu }_{0}}}\mathbf {B} _{\boldsymbol {i}}(\mathbf {r} )} であることに特に注意されたい。 式(1-2),式(1-3)より、 H i ( r ) = 1 4 π ∫ s ∈ R 3 ( i ( s ) × ( r − s ) | r − s | 3 ) d 3 s {\displaystyle \mathbf {H} _{\boldsymbol {i}}(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbf {s} \in \mathbb {R} ^{3}}\left({\frac {{\boldsymbol {i}}(\mathbf {s} )\times (\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |^{3}}}\right)d^{3}\mathbf {s} } (1-4) である。これに、回転微分を作用させると、 rot r [ H i ] = i {\displaystyle \operatorname {rot} _{\mathbf {r} }[\mathbf {H} _{\boldsymbol {i}}]={\boldsymbol {i}}} (1-5) が得られる。実際、ベクトル解析の公式より、 rot r [ ( i ( s ) × ( r − s ) | r − s | 3 ) ] = 4 π ( div r [ ( r − s ) | r − s | 3 ] ) i ( s ) = 4 π δ 3 ( r − s ) i ( s ) (1-6) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {rot} _{\mathbf {r} }\left[\left({\frac {{\boldsymbol {i}}(\mathbf {s} )\times (\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |^{3}}}\right)\right]&=4\pi \left(\operatorname {div} _{\mathbf {r} }\left[{\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |^{3}}}\right]\right){\boldsymbol {i}}(\mathbf {s} )\\&=4\pi {\delta }^{3}(\mathbf {r} -\mathbf {s} ){\boldsymbol {i}}(\mathbf {s} )\qquad {\text{(1-6)}}\end{aligned}}} 従って、 rot r [ H i ( r ) ] = 1 4 π ∫ s ∈ R 3 rot r [ ( i ( s ) × ( r − s ) | r − s | 3 ) ] d 3 s = ∫ s ∈ R 3 δ 3 ( r − s ) i ( s ) d 3 s = i ( r ) (1-7) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {rot} _{\mathbf {r} }[\mathbf {H} _{\boldsymbol {i}}(\mathbf {r} )]&={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbf {s} \in \mathbb {R} ^{3}}\operatorname {rot} _{\mathbf {r} }\left[\left({\frac {{\boldsymbol {i}}(\mathbf {s} )\times (\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |^{3}}}\right)\right]d^{3}\mathbf {s} \\&={\int }_{\mathbf {s} \in \mathbb {R} ^{3}}{\delta }^{3}(\mathbf {r} -\mathbf {s} ){\boldsymbol {i}}(\mathbf {s} )d^{3}\mathbf {s} \\&={\boldsymbol {i}}(\mathbf {r} )\qquad {\text{(1-7)}}\end{aligned}}} が得られる。ここでδ3は、3変数のδ関数（ディラックのデルタ）を意味する。
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