安定な（微分）形式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/21 01:40 UTC 版)
「ヒッチン汎函数」の記事における「安定な（微分）形式」の解説
作用汎函数は、しばしば M {\displaystyle M} の上の幾何学構造を決定し、幾何学構造はある可積分条件に従う M {\displaystyle M} 上の特別な微分形式の存在によって特徴付けられる。 もし m-形式 ω {\displaystyle \omega } が局所座標で記述されるとし、 ω = d p 1 ∧ d q 1 + ⋯ + d p m ∧ d q m {\displaystyle \omega =dp_{1}\wedge dq_{1}+\cdots +dp_{m}\wedge dq_{m}} さらに d ω = 0 {\displaystyle d\omega =0} とすると、 ω {\displaystyle \omega } はシンプレクティック構造を決定する。 p-形式 ω ∈ Ω p ( M , R ) {\displaystyle \omega \in \Omega ^{p}(M,\mathbb {R} )} が安定とは、n = dim(M) としたとき、この微分形式が局所 G L ( n , R ) {\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )} 作用の開軌道の中にある場合、つまり、小さな摂動 ω ↦ ω + δ ω {\displaystyle \omega \mapsto \omega +\delta \omega } は、局所 G L ( n , R ) {\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )} 作用により元に戻せる場合を言う。従って、任意の 1-形式は、（定数なので）どこでもゼロにならないので安定で、2-形式 (もしくは p が偶数のときの p-形式) の安定性とは、非退化と同値である。 では、p = 3 の場合にはどうなるのか。 大きな n に対しては、3-形式は難しくなる。理由は、 ∧ 3 ( R n ) {\displaystyle \wedge ^{3}(\mathbb {R} ^{n})} , n 3 {\displaystyle n^{3}} , の次元の増加の仕方が、 G L ( n , R ) {\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )} , n 2 {\displaystyle n^{2}} の次元の増加のしかたよりも早いからである。しかし、非常にまれな例外がある。つまり n = 6 {\displaystyle n=6} の場合で、その場合は dim ∧ 3 ( R 6 ) = 20 {\displaystyle \wedge ^{3}(\mathbb {R} ^{6})=20} であり、dim G L ( 6 , R ) = 36 {\displaystyle GL(6,\mathbb {R} )=36} である。次元 6 での安定な実 3-形式を ρ {\displaystyle \rho } とすると、 ρ {\displaystyle \rho } の G L ( 6 , R ) {\displaystyle GL(6,\mathbb {R} )} の下でのスタビライザーは次元 36 - 20 = 16 であり、実際に、 S L ( 3 , R ) × S L ( 3 , R ) {\displaystyle SL(3,\mathbb {R} )\times SL(3,\mathbb {R} )} もしくは S L ( 3 , C ) ∩ S L ( 3 , C ) {\displaystyle SL(3,\mathbb {C} )\cap SL(3,\mathbb {C} )} のいずれかになる。 S L ( 3 , C ) ∩ S L ( 3 , C ) {\displaystyle SL(3,\mathbb {C} )\cap SL(3,\mathbb {C} )} の場合に焦点を絞り、 ρ {\displaystyle \rho } が S L ( 3 , C ) ∩ S L ( 3 , C ) {\displaystyle SL(3,\mathbb {C} )\cap SL(3,\mathbb {C} )} 内にスタビライザーを持つとすると、局所座標では次のように書くことができる： ρ = 1 2 ( ζ 1 ∧ ζ 2 ∧ ζ 3 + ζ 1 ¯ ∧ ζ 2 ¯ ∧ ζ 3 ¯ ) {\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}(\zeta _{1}\wedge \zeta _{2}\wedge \zeta _{3}+{\bar {\zeta _{1}}}\wedge {\bar {\zeta _{2}}}\wedge {\bar {\zeta _{3}}})} ここに、 ζ 1 = e 1 + i e 2 , ζ 2 = e 3 + i e 4 , ζ 3 = e 5 + i e 6 {\displaystyle \zeta _{1}=e_{1}+ie_{2},\zeta _{2}=e_{3}+ie_{4},\zeta _{3}=e_{5}+ie_{6}} であり、 e i {\displaystyle e_{i}} は T ∗ M {\displaystyle T^{*}M} の基底である。従って、 ζ i {\displaystyle \zeta _{i}} は M {\displaystyle M} 上の概複素構造を決定する。さらに局所座標 ( z 1 , z 2 , z 3 ) {\displaystyle (z_{1},z_{2},z_{3})} が存在して ζ i = d z i {\displaystyle \zeta _{i}=dz_{i}} と満たすとすると、 ζ i {\displaystyle \zeta _{i}} は、さいわいにも M {\displaystyle M} 上の複素構造を決定する。 安定な形式 ρ ∈ Ω 3 ( M , R ) {\displaystyle \rho \in \Omega ^{3}(M,\mathbb {R} )} が与えられると： ρ = 1 2 ( ζ 1 ∧ ζ 2 ∧ ζ 3 + ζ 1 ¯ ∧ ζ 2 ¯ ∧ ζ 3 ¯ ) {\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}(\zeta _{1}\wedge \zeta _{2}\wedge \zeta _{3}+{\bar {\zeta _{1}}}\wedge {\bar {\zeta _{2}}}\wedge {\bar {\zeta _{3}}})} と取ることができ、もうひとつ別な実 3-形式 ρ ~ ( ρ ) = 1 2 ( ζ 1 ∧ ζ 2 ∧ ζ 3 − ζ 1 ¯ ∧ ζ 2 ¯ ∧ ζ 3 ¯ ) {\displaystyle {\tilde {\rho }}(\rho )={\frac {1}{2}}(\zeta _{1}\wedge \zeta _{2}\wedge \zeta _{3}-{\bar {\zeta _{1}}}\wedge {\bar {\zeta _{2}}}\wedge {\bar {\zeta _{3}}})} を取ることができる。 そうすると Ω = ρ + i ρ ~ ( ρ ) {\displaystyle \Omega =\rho +i{\tilde {\rho }}(\rho )} は ρ {\displaystyle \rho } により決定される概複素構造の中の正則な 3-形式となる。さらに、複素構造となるためには、ちょうど d Ω = 0 {\displaystyle d\Omega =0} 、すなわち、 d ρ = 0 {\displaystyle d\rho =0} であり、かつ、 d ρ ~ ( ρ ) = 0 {\displaystyle d{\tilde {\rho }}(\rho )=0} の場合である. この Ω {\displaystyle \Omega } はヒッチン汎函数の定義での 3-形式 Ω {\displaystyle \Omega } に一致する。これらの考えは、一般化された複素構造を導くこととなった。
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