変形と歪み
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/01 22:16 UTC 版)
力をかけるなどして連続体が変形し、最初点xにあった粒子がt秒後にφt(x)に移動したとする。このとき r = r ( x , t ) := ϕ t ( x ) − x {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (\mathbf {x} ,t):=\phi _{t}(\mathbf {x} )-\mathbf {x} } をこの変形の変位ベクトルと呼び、ヤコビ行列 D = ( ∂ r i ∂ x j ) i , j {\displaystyle D=\left({\partial r_{i} \over \partial x_{j}}\right)_{i,j}} をこの変形の変形テンソル(deformation tensor)と呼ぶ 。 変形テンソルを対称部分と非対称部分に E i j = 1 2 ( D i j + D j i ) F i j = 1 2 ( D i j − D j i ) {\displaystyle {\begin{array}{ll}E_{ij}&={1 \over 2}(D_{ij}+D_{ji})\\F_{ij}&={1 \over 2}(D_{ij}-D_{ji})\end{array}}} とわけ、対称部分にあたる(Eij)i,jを歪みテンソル(strain tensor)という。 歪みテンソルの対角成分Eiiを伸縮歪み(elongation-contraction)、反対角成分をずれ歪み(shear strain)といい、伸縮歪みの総和 ∑ i E i i = ∇ ⋅ r {\displaystyle \sum _{i}E_{ii}=\nabla \cdot \mathbf {r} } を体積歪み(volume dilatation)という。 一方、反対称部分である(Fij)i,jは定義より明らかに F i j = − F j i {\displaystyle F_{ij}=-F_{ji}} 、 F i i = 0 {\displaystyle F_{ii}=0} である。 Ω = ( Ω 1 , Ω 2 , Ω 3 ) := ( 2 F 23 , 2 F 31 , 2 F 12 ) {\displaystyle \Omega =(\Omega _{1},\Omega _{2},\Omega _{3}):=(2F_{23},2F_{31},2F_{12})} と定義すると、 Ω = ∇ × r {\displaystyle \Omega =\nabla \times \mathbf {r} } である。 Ωをこの変形の回転もしくは回転ベクトルという。 これらのテンソルは、変形を開始した時刻t0における位置xと現在の時刻tの関数であるので時間微分した量を計算できる： ∂ D i j ∂ t | t = t 0 = ∂ ∂ t ∂ r i ∂ x j | t = t 0 = ∂ v i ∂ x j ∂ E i j ∂ t | t = t 0 = 1 2 ( ∂ v i ∂ x j + ∂ v j ∂ x i ) ∂ Ω ∂ t | t = t 0 = ∇ × v {\displaystyle {\begin{array}{ll}\left.{\partial D_{ij} \over \partial t}\right|_{t=t_{0}}=\left.{\partial \over \partial t}{\partial r_{i} \over \partial x_{j}}\right|_{t=t_{0}}={\partial v_{i} \over \partial x_{j}}\\\left.{\partial E_{ij} \over \partial t}\right|_{t=t_{0}}={1 \over 2}\left({\partial v_{i} \over \partial x_{j}}+{\partial v_{j} \over \partial x_{i}}\right)\\\left.{\partial \Omega \over \partial t}\right|_{t=t_{0}}=\nabla \times \mathbf {v} \end{array}}} (B3) が成立する。ここで v = ( v 1 , v 2 , v 3 ) {\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},v_{2},v_{3})} は速度ベクトルである。 ∂ v i ∂ x j {\displaystyle {\partial v_{i} \over \partial x_{j}}} を変形速度テンソル(deformation rate tensor)、 1 2 ( ∂ v i ∂ x j + ∂ v j ∂ x i ) {\displaystyle {1 \over 2}\left({\partial v_{i} \over \partial x_{j}}+{\partial v_{j} \over \partial x_{i}}\right)} を歪み速度テンソル(stain rate tensor)、 ∇ × v {\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} } を渦度(vorticity)という。 さらに歪み速度テンソルの対角成分を伸縮歪み速度(elongation-contraction rate)、非対角成分をずれ歪み速度(shear stain rate)という。
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