四元数と R3 の幾何
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/15 05:35 UTC 版)
四元数のベクトル部は R3 のベクトルゆえ、R3 の幾何は四元数の代数構造に反映される。ベクトルに対する多くの演算は四元数を用いて定義することができるし、それによって四元数的な手法を空間ベクトルから生じる様々なものに適用することができる。例えば、電磁気学や3DCGなどにこの方法論が使える。 本節では i, j, k を H の虚基底ベクトルと R3 の基底の両方の意味で用いる。i, j, k を一斉にそれぞれ −i, −j, −k に取り替えることはベクトルを加法的逆元（マイナス）へ写すので、ベクトルの加法的逆元をとることと四元数の共軛をとることとは同じ意味になることに注目しよう。これを以って、四元数の共軛を「空間反転」(spatial inverse) と呼ぶことがある。 2つの純虚四元数 p = b1i + c1j + d1k, q = b2i + c2j + d2k に対して、それらのドット積は p ⋅ q = b 1 b 2 + c 1 c 2 + d 1 d 2 {\displaystyle p\cdot q=b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}+d_{1}d_{2}} で与えられる。これは p∗q, qp∗, pq∗, q∗p のどのスカラー部にも等しい（これらのベクトル部は相異なることに注意）。それゆえドット積については p ⋅ q = 1 2 ( p ∗ q + q ∗ p ) = 1 2 ( p q ∗ + q p ∗ ) {\displaystyle p\cdot q={\frac {1}{2}}(p^{*}q+q^{*}p)={\frac {1}{2}}(pq^{*}+qp^{*})} という等式も成り立つ。また、p と q のクロス積は基底 (i, j, k) の元の順序（から定まる向き）に依存して p × q = ( c 1 d 2 − d 1 c 2 ) i + ( d 1 b 2 − b 1 d 2 ) j + ( b 1 c 2 − c 1 b 2 ) k {\displaystyle p\times q=(c_{1}d_{2}-d_{1}c_{2})i+(d_{1}b_{2}-b_{1}d_{2})j+(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})k} と定義される（符号を決めるために向きが必要であることを想起せよ）。これは四元数としての積 pq のベクトル部に等しく、−q∗p∗ のベクトル部とも同じく等しい。ゆえに、これについても p × q = 1 2 ( p q − q ∗ p ∗ ) {\displaystyle p\times q={\frac {1}{2}}(pq-q^{*}p^{*})} なる等式が成り立つ。一般に p, q が四元数（純虚でなくてよい）のとき、これをスカラー部とベクトル部との和 p = p s + p → v , {\displaystyle p=p_{s}+{\vec {p}}_{v},} q = q s + q → v {\displaystyle q=q_{s}+{\vec {q}}_{v}} に分解すれば、等式 p q = p s q s − p → v ⋅ q → v + p s q → v + p → v q s + p → v × q → v {\displaystyle pq=p_{s}q_{s}-{\vec {p}}_{v}\cdot {\vec {q}}_{v}+p_{s}{\vec {q}}_{v}+{\vec {p}}_{v}q_{s}+{\vec {p}}_{v}\times {\vec {q}}_{v}} が成り立つ。これを見ると、四元数の乗法の非可換性が純虚四元数の乗法からくるものであることが分かり、また2つの四元数が可換となるための必要十分条件がそれらのベクトル部が共線となることなども分かる。
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