初等解析学
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/03/01 04:25 UTC 版)
詳細は「微分作用素」および「積分作用素」を参照 函数解析学の観点から見れば、微分積分学は二つの作用素：微分 d⁄dt と積分 ∫t0 の研究である。 フーリエ変換は応用数学、特に物理学や符号理論において有用な積分作用素である。その有用性は、これを（時間領域上の）函数を別の（周波数領域上の）函数へ変換するものとみるとき可逆変換となることが大きい（逆変換があることによって重要な情報が落ちてしまうことがない）。単純な周期函数の場合には、この結果は任意の周期函数が正弦波と余弦波の級数として f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ( ω n t ) + b n sin ( ω n t ) {\displaystyle f(t)={a_{0} \over 2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n}\cos(\omega nt)+b_{n}\sin(\omega nt)}} f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ g ( ω ) e i ω t d ω {\displaystyle f(t)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }{g(\omega )e^{i\omega t}\,d\omega }} F ( s ) = ( L f ) ( s ) = ∫ 0 ∞ e − s t f ( t ) d t {\displaystyle F(s)=({\mathcal {L}}f)(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt} を割り当てる。
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初等解析学
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/21 02:44 UTC 版)
「多項式函数 (初等数学)」の記事における「初等解析学」の解説
一次函数および二次函数の解析学的性質はよく知られている。より高次の多項式函数についても、いくつか知られた事実がある。 ℝ 上定義された多項式函数は ℝ の各点で微分可能である。正整数 k に対し、単項式 fk(x) := ak⋅xk の導函数は f′(x) = k⋅akxk−1 で与えられる。定数単項式の導函数は零函数である。 したがって特に、ℝ 上定義された多項式函数は ℝ 上の各点で連続である。 多項式函数の無限遠への極限は、そのもとも高い次数の単項式の極限に一致する。 anxn の +∞ への極限はan > 0 ならば +∞; an < 0 ならば −∞. anxn の −∞ への極限はan > 0 かつ n が偶数ならば +∞; an > 0 かつ n が奇数ならば −∞; an < 0 かつ n が偶数ならば −∞; an < 0 かつ n が奇数ならば +∞.
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