函数の関係式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/17 04:25 UTC 版)
以下の表におけるフーリエ変換は (Erdélyi 1954) あるいは (Kammler 2000) の付録に見つけることができる。 もとの函数ユニタリ・周波に関するフーリエ変換ユニタリ・角周波に関するフーリエ変換非ユニタリ・角周波に関するフーリエ変換備考 f ( x ) {\displaystyle f(x)\,} f ^ ( ξ ) = {\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=} ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − 2 π i x ξ d x {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }dx} f ^ ( ω ) = {\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=} 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − i ω x d x {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx} f ^ ( ν ) = {\displaystyle {\hat {f}}(\nu )=} ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − i ν x d x {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\nu x}dx} 101 a f ( x ) + b g ( x ) {\displaystyle af(x)+bg(x)\,} a f ^ ( ξ ) + b g ^ ( ξ ) {\displaystyle a{\hat {f}}(\xi )+b{\hat {g}}(\xi )\,} a f ^ ( ω ) + b g ^ ( ω ) {\displaystyle a{\hat {f}}(\omega )+b{\hat {g}}(\omega )\,} a f ^ ( ν ) + b g ^ ( ν ) {\displaystyle a{\hat {f}}(\nu )+b{\hat {g}}(\nu )\,} 線型性 102 f ( x − a ) {\displaystyle f(x-a)\,} e − 2 π i a ξ f ^ ( ξ ) {\displaystyle e^{-2\pi ia\xi }{\hat {f}}(\xi )\,} e − i a ω f ^ ( ω ) {\displaystyle e^{-ia\omega }{\hat {f}}(\omega )\,} e − i a ν f ^ ( ν ) {\displaystyle e^{-ia\nu }{\hat {f}}(\nu )\,} 時間領域シフト 103 e 2 π i a x f ( x ) {\displaystyle e^{2\pi iax}f(x)\,} f ^ ( ξ − a ) {\displaystyle {\hat {f}}\left(\xi -a\right)\,} f ^ ( ω − 2 π a ) {\displaystyle {\hat {f}}(\omega -2\pi a)\,} f ^ ( ν − 2 π a ) {\displaystyle {\hat {f}}(\nu -2\pi a)\,} 周波数領域シフト102の双対 104 f ( a x ) {\displaystyle f(ax)\,} 1 | a | f ^ ( ξ a ) {\displaystyle {\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\xi }{a}}\right)\,} 1 | a | f ^ ( ω a ) {\displaystyle {\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\omega }{a}}\right)\,} 1 | a | f ^ ( ν a ) {\displaystyle {\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\nu }{a}}\right)\,} |a| が大きければ f(ax) は 0 の周りに集中し 1 | a | f ^ ( ω a ) {\displaystyle {\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\omega }{a}}\right)\,} は平らに広がる 105 f ^ ( x ) {\displaystyle {\hat {f}}(x)\,} f ( − ξ ) {\displaystyle f(-\xi )\,} f ( − ω ) {\displaystyle f(-\omega )\,} 2 π f ( − ν ) {\displaystyle 2\pi f(-\nu )\,} ここで、 f ^ {\displaystyle {\hat {f}}} は、それぞれの列で考えているフーリエ変換を施した結果の、変数を x に取替えたものである。 106 d n f ( x ) d x n {\displaystyle {\frac {d^{n}f(x)}{dx^{n}}}\,} ( 2 π i ξ ) n f ^ ( ξ ) {\displaystyle (2\pi i\xi )^{n}{\hat {f}}(\xi )\,} ( i ω ) n f ^ ( ω ) {\displaystyle (i\omega )^{n}{\hat {f}}(\omega )\,} ( i ν ) n f ^ ( ν ) {\displaystyle (i\nu )^{n}{\hat {f}}(\nu )\,} 107 x n f ( x ) {\displaystyle x^{n}f(x)\,} ( i 2 π ) n d n f ^ ( ξ ) d ξ n {\displaystyle \left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}{\frac {d^{n}{\hat {f}}(\xi )}{d\xi ^{n}}}\,} i n d n f ^ ( ω ) d ω n {\displaystyle i^{n}{\frac {d^{n}{\hat {f}}(\omega )}{d\omega ^{n}}}} i n d n f ^ ( ν ) d ν n {\displaystyle i^{n}{\frac {d^{n}{\hat {f}}(\nu )}{d\nu ^{n}}}} 106の双対 108 ( f ∗ g ) ( x ) {\displaystyle (f*g)(x)\,} f ^ ( ξ ) g ^ ( ξ ) {\displaystyle {\hat {f}}(\xi ){\hat {g}}(\xi )\,} 2 π f ^ ( ω ) g ^ ( ω ) {\displaystyle {\sqrt {2\pi }}{\hat {f}}(\omega ){\hat {g}}(\omega )\,} f ^ ( ν ) g ^ ( ν ) {\displaystyle {\hat {f}}(\nu ){\hat {g}}(\nu )\,} f ∗ g は f と g との畳み込みである。この公式は畳み込み定理と呼ばれる。 109 f ( x ) g ( x ) {\displaystyle f(x)g(x)\,} ( f ^ ∗ g ^ ) ( ξ ) {\displaystyle ({\hat {f}}*{\hat {g}})(\xi )\,} ( f ^ ∗ g ^ ) ( ω ) 2 π {\displaystyle ({\hat {f}}*{\hat {g}})(\omega ) \over {\sqrt {2\pi }}\,} 1 2 π ( f ^ ∗ g ^ ) ( ν ) {\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}({\hat {f}}*{\hat {g}})(\nu )\,} 108の双対 110 純実偶関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} f ^ ( ω ) , f ^ ( ξ ) , f ^ ( ν ) {\displaystyle {\hat {f}}(\omega ),\,{\hat {f}}(\xi ),\,{\hat {f}}(\nu )\,} はいずれも純実偶関数 正弦・余弦変換も参照 111 純実奇関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} f ^ ( ω ) , f ^ ( ξ ) , f ^ ( ν ) {\displaystyle {\hat {f}}(\omega ),\,{\hat {f}}(\xi ),\,{\hat {f}}(\nu )} はいずれも純虚奇関数
※この「函数の関係式」の解説は、「フーリエ変換」の解説の一部です。
「函数の関係式」を含む「フーリエ変換」の記事については、「フーリエ変換」の概要を参照ください。
- 函数の関係式のページへのリンク
