函手性と p-進群の表現論への応用
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/13 14:02 UTC 版)
「ラングランズ・シャヒーディの方法」の記事における「函手性と p-進群の表現論への応用」の解説
古典群の函手性(Functoriality for the classical groups)： 古典群のカスプ的な大域的保型表現は、GL(N) へのラングランズ函手性リフトを持っている。 ここの N は古典群に依存している。従って、ルオ(W. Luo)、ルドニック(Z. Rudnick)、サルナック(P. Sarnak) 数体上の GL(N) のラマヌジャン境界は、古典群の一般化されたラマヌジャン予想の非自明な境界である。 GL(2) の対称べき(Symmetric powers for GL(2))： GL(2) のカスプ的保型表現のべきである対称三次べき、対称四次べきの函手正の証明は、ラングランズ・シャヒーティの方法によって可能となった。高次の対称べきの証明への前進は、GL(2) の保型カスプ形式のラマヌジャン・ピーターソン予想の最良な境界を導出している。 p-進群の表現(Representations of p-adic groups)： （プランシュレル公式の）ハリシュ-チャンドラ（英語版）(Harish-Chandra)の μ 函数や p-進簡約群の補系列への応用が可能となっている。例えば、GL(n) は、古典群 G のジーゲルのレヴィ部分群として現れる。π は p-進数の体 F 上の FL(n, F) の滑らかな既約な分岐を持つスーパーカスプ表現で I ( π ) = I ( 0 , π ) {\displaystyle I(\pi )=I(0,\pi )} が既約であれば、 I ( s , π ) {\displaystyle I(s,\pi )} が既約で、0 < s < 1 に対して、補系列である。 I ( 1 , π ) {\displaystyle I(1,\pi )} は被約であり、一意に非スーパーカスプ的離散離散系列の部分表現である。 I ( s , π ) {\displaystyle I(s,\pi )} は既約で、s > 1 に対して補系列にはならない。 ここに、 I ( s , π ) {\displaystyle I(s,\pi )} は次のユニタリ双曲な導出によって得られる。G = SO(2n) もしくは、U(n+1, n) のときは、 π ⊗ | det | s {\displaystyle \pi \otimes |\det |^{s}} G = SO(2n + 1) もしくは、U(n, n) のときは、 π ⊗ | det | s / 2 {\displaystyle \pi \otimes |\det |^{s/2}}
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