函数とその導函数の混じった式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/14 02:47 UTC 版)
「汎函数微分」の記事における「函数とその導函数の混じった式」の解説
与えられた汎函数が F [ ρ ( r ) ] = ∫ f ( r , ρ ( r ) , ∇ ρ ( r ) ) d r {\displaystyle F[\rho ({\boldsymbol {r}})]=\int f({\boldsymbol {r}},\rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla \rho ({\boldsymbol {r}}))\,d{\boldsymbol {r}}} なる形で、ρ が r の境界で消えるものとすると、汎函数微分と試験函数 φ との内積は ⟨ δ F [ ρ ] δ ρ , ϕ ⟩ = d d ε ∫ f ( r , ρ + ε ϕ , ∇ ρ + ε ∇ ϕ ) d r | ε = 0 = ∫ ( ∂ f ∂ ρ ϕ + ∂ f ∂ ∇ ρ ⋅ ∇ ϕ ) d r = ∫ [ ∂ f ∂ ρ ϕ + ∇ ⋅ ( ∂ f ∂ ∇ ρ ϕ ) − ( ∇ ⋅ ∂ f ∂ ∇ ρ ) ϕ ] d r = ∫ [ ∂ f ∂ ρ ϕ − ( ∇ ⋅ ∂ f ∂ ∇ ρ ) ϕ ] d r = ⟨ ∂ f ∂ ρ − ∇ ⋅ ∂ f ∂ ∇ ρ , ϕ ⟩ , {\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle {\frac {\delta F[\rho ]}{\delta \rho }},\phi \right\rangle &={\frac {d}{d\varepsilon }}\left.\int f({\boldsymbol {r}},\rho +\varepsilon \phi ,\nabla \rho +\varepsilon \nabla \phi )\,d{\boldsymbol {r}}\right|_{\varepsilon =0}\\[5pt]&=\int \left({\frac {\partial f}{\partial \rho }}\phi +{\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\cdot \nabla \phi \right)d{\boldsymbol {r}}\\[5pt]&=\int \left[{\frac {\partial f}{\partial \rho }}\phi +\nabla \cdot \left({\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\phi \right)-\left(\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\right)\phi \right]d{\boldsymbol {r}}\\[5pt]&=\int \left[{\frac {\partial f}{\partial \rho }}\phi -\left(\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\right)\phi \right]d{\boldsymbol {r}}\\[5pt]&=\left\langle {\frac {\partial f}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\,,\phi \right\rangle ,\end{aligned}}} なる形に書くことができる。ここで、三行目は積分の限界において φ = 0 と仮定した。故に汎函数微分は δ F [ ρ ] δ ρ = ∂ f ∂ ρ − ∇ ⋅ ∂ f ∂ ∇ ρ {\displaystyle {\frac {\delta F[\rho ]}{\delta \rho }}={\frac {\partial f}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}} あるいはより明示的に書けば δ F [ ρ ( r ) ] δ ρ ( r ) = ∂ ∂ ρ ( r ) f ( r , ρ ( r ) , ∇ ρ ( r ) ) − ∇ ⋅ ∂ ∂ ∇ ρ ( r ) f ( r , ρ ( r ) , ∇ ρ ( r ) ) {\displaystyle {\frac {\delta F[\rho ({\boldsymbol {r}})]}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}={\frac {\partial }{\partial \rho ({\boldsymbol {r}})}}f({\boldsymbol {r}},\rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla \rho ({\boldsymbol {r}}))-\nabla \cdot {\frac {\partial }{\partial \nabla \rho ({\boldsymbol {r}})}}f({\boldsymbol {r}},\rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla \rho ({\boldsymbol {r}}))} となる。この例は考える汎函数が、函数 ρ(r) とその勾配 ∇ρ(r) のみに依存するという特別な場合を示している。より一般には、汎函数は高次の導函数を含む F [ ρ ( r ) ] = ∫ f ( r , ρ ( r ) , ∇ ρ ( r ) , ∇ 2 ρ ( r ) , … , ∇ N ρ ( r ) ) d r {\displaystyle F[\rho ({\boldsymbol {r}})]=\int f({\boldsymbol {r}},\rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla \rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla ^{2}\rho ({\boldsymbol {r}}),\dots ,\nabla ^{N}\rho ({\boldsymbol {r}}))\,d{\boldsymbol {r}}} なる形も想定しなければならない。ここで ∇i は各第 ni-成分が何れも i-階偏微分作用素、つまり ∂ i / ( ∂ r 1 i 1 ∂ r 2 i 2 … ∂ r n i n ) ( i 1 + i 2 + ⋯ + i n = i ) {\displaystyle \partial ^{i}/(\partial r_{1}^{i_{1}}\,\partial r_{2}^{i_{2}}\dots \partial r_{n}^{i_{n}})\quad (i_{1}+i_{2}+\cdots +i_{n}=i)} であるようなテンソルとする。この場合も先ほどと同様に、定義から δ F [ ρ ] δ ρ = ∂ f ∂ ρ − ∇ ⋅ ∂ f ∂ ( ∇ ρ ) + ∇ 2 ⋅ ∂ f ∂ ( ∇ 2 ρ ) + ⋯ + ( − 1 ) N ∇ N ⋅ ∂ f ∂ ( ∇ N ρ ) = ∑ i = 0 N ( − 1 ) i ∇ i ⋅ ∂ f ∂ ( ∇ i ρ ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta F[\rho ]}{\delta \rho }}&={\frac {\partial f}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial (\nabla \rho )}}+\nabla ^{2}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{2}\rho \right)}}+\dots +(-1)^{N}\nabla ^{N}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{N}\rho \right)}}\\&=\sum _{i=0}^{N}(-1)^{i}\nabla ^{i}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{i}\rho \right)}}\end{aligned}}} となることが導かれる。
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