代数多様体の積・分離性・固有性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/05/23 00:10 UTC 版)
「代数多様体」の記事における「代数多様体の積・分離性・固有性」の解説
2つの代数多様体 X, Y に対して、代数多様体 Z と射 p: Z → X, q: Z → Y の組が X, Y の積多様体 (product variety) であるとは、任意の代数多様体からの射 f: W → X および g: W → Y に対して、射 h: W → Z がただひとつ存在して f = p ◦ h, g = q ◦ h と書けることを言う。積多様体は存在すれば同型の差を除いて一意的であるので、これを X × Y と表す。 積多様体 X × Y は、存在すれば点集合としては X と Y の積集合に一致する。以下では、この積集合に自然な代数多様体の構造が入ることを説明する。 2つのアフィン空間 A k n {\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}} , A k m {\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{m}} の積多様体は、 A k n + m {\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n+m}} とそこからの自然な射影によって与えられる。 A k n + m {\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n+m}} の位相は A k n {\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}} , A k m {\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{m}} の積位相ではないことには注意が必要である。アフィン代数多様体 V ⊂ A k n {\displaystyle V\subset \mathbb {A} _{k}^{n}} , W ⊂ A k m {\displaystyle W\subset \mathbb {A} _{k}^{m}} に対しては、イデアル I(V) + I(W) ⊂ k[x1, ..., xn, y1, ..., ym] で定義される A k n + m {\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n+m}} の中のアフィン代数多様体が積多様体 V × W を与える。一般の代数多様体は、有限個のアフィン代数多様体の和集合として、 X = ⋃ U i {\displaystyle X=\bigcup U_{i}} , Y = ⋃ V j {\displaystyle Y=\bigcup V_{j}} と書ける。そこで、集合 X × Y に アフィン代数多様体 Ui × Vj の貼り合わせとして代数多様体の構造を入れることができ、これが X と Y の積多様体を与えていることが証明できる。 積多様体の定義より、任意の代数多様体 X に対して、対角写像 Δ: X → X × X が x ↦ ( x , x ) {\displaystyle x\mapsto (x,x)} で定義される。対角写像の像 Δ(X) が X × X の閉集合になるとき、X は分離的 (separated) であるという。分離的な代数多様体の部分多様体は分離的である。2つの分離的な代数多様体の積多様体も分離的である。アフィン代数多様体は分離的である。また、射影代数多様体は分離的である。従って、準射影代数多様体は分離的である。 また、任意の代数多様体 Y に対して、射影 X × Y → Y による任意の閉集合の像が閉集合になるとき、分離的な代数多様体 X は完備 (complete)、または k 上固有 (proper over k) であるという。固有な代数多様体の閉部分多様体はまた固有である。2つの固有な代数多様体の積も固有である。射影空間は固有である（消去法 (elimination theory) の基本定理）。従って、射影代数多様体は固有である。 代数多様体はザリスキー位相を持っているので、位相空間論の意味で分離的（ハウスドルフ的）ではあり得ない。上に述べた分離性、固有性は、位相空間論で言うところの、ハウスドルフ性、およびコンパクト性の代数多様体のコンテクストでの正しいアナロジーである。
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