準射影代数多様体
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/05/23 00:10 UTC 版)
本節の内容については射影代数多様体も参照。 アフィン代数多様体でない代数多様体の最も初歩的で重要な例が射影空間 P k n {\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}} である（射影空間の多様体の構造を参照）。射影空間には、アフィン空間の場合と同様に射影代数的集合を閉集合とする位相が入り、「概説」の節で定義された射影代数多様体にはここから誘導される位相を入れる（ザリスキー位相）。 P k n {\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}} の斉次座標 [x0 : x1 : ... : xn] に関して、斉次多項式系 F = (Fi | i = 0, ..., r) で定義された射影代数多様体 Vh(F) を A k n {\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}} と同一視できるアフィン開集合 Uj : xj ≠ 0 へ制限したものは、 A k n {\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}} で fi(y1, ..., yn) = Fi(y1, ..., 1, ..., yn)（j 番目の変数には 1 を代入）で与えられる方程式系で定義されるアフィン代数多様体と同一視できる。つまり、射影代数多様体は前節の意味での代数多様体になっている。 もう一つの重要な代数多様体の例は、アフィン空間の開集合 A k n ∖ { 0 } {\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}\backslash \{0\}} である（ただし n ≥ 2）。これはアフィン代数多様体の開集合であるから前節の意味での代数多様体になる。しかし、これはアフィン代数多様体にはならない。 より一般に射影代数多様体の開部分多様体を準射影代数多様体 (quasi-projective algebraic variety) と呼ぶ。アフィン代数多様体は準射影代数多様体である。
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