算術の基本定理

ウィキペディア

算術の基本定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/02/14 04:17 UTC 版)

素因数分解の一意性はガウスの『算術研究』（1801年）で最初に証明された^{[注 1]}。ただし『算術研究』でガウスが基本定理と呼んだ定理は「平方剰余の相互法則」のことである^[1]。

算術の基本定理（さんじゅつのきほんていり、英: fundamental theorem of arithmetic）、初等整数論の基本定理（しょとうせいすうろんのきほんていり）、または素因数分解の一意性（そいんすうぶんかいのいちいせい、英: unique factorization theorem）は、「任意の正整数は、1 を除いて、一つまたはそれ以上の素数の積として（因子の順番の違いを除いて）ただ一通りに表すことができる」^{[注 2]}という初等整数論（算術）における定理である^{[注 3]}。

定理 ― 任意の正整数 n > 1 は一意的に素数の積に表される：

${\displaystyle n=p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}\cdots p_{k}^{n_{k}}=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{n_{i}}}$

因数分解による分類

• 素数
• 合成数
• 半素数
• 矩形数
• 楔数
• 平方因子をもたない整数
• 多冪数
• 累乗数
• アキレス数
• 滑らかな数（英語版）
• ハミング数（英語版）
• 粗い数（英語版）
• 異常数（英語版）

約数和による分類

• 完全数
• 概完全数
• 準完全数
• 倍積完全数
• Hemiperfect number（英語版）
• ハイパー完全数
• 超完全数
• 単完全数（英語版）
• 擬似完全数
• プラクティカル数
• エルデシュ・ニコラス数（英語版）

約数が多いもの

• 過剰数
• 原始過剰数（英語版）
• 高度過剰数
• 超過剰数
• 巨大過剰数
• 高度合成数
• 優高度合成数（英語版）
• 不思議数

アリコット数列関連

• アンタッチャブル数（英語版）
• 友愛数 (友愛三数（英語版）)
• 社交数
• 婚約数

位取り記法に基づくもの

• Equidigital number（英語版）
• Extravagant number（英語版）
• Frugal number（英語版）
• ハーシャッド数
• Polydivisible number（英語版）
• スミス数

その他

• Arithmetic number（英語版）
• 不足数
• Friendly number（英語版）
• Solitary（英語版）
• サブライム数
• 調和数
• デカルト数（英語版）
• タウ数
• 超完全数