マクスウェルの方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/23 08:26 UTC 版)
ディラックによれば、「磁気単極子の存在」を仮定した場合、マクスウェルの方程式は次のようになる。 { ∇ ⋅ B = ρ m ∇ × E = − ( ∂ B ∂ t + J m ) ∇ ⋅ D = ρ e ∇ × H = J e + ∂ D ∂ t {\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}\nabla \cdot {\boldsymbol {B}}&=\rho _{\mathrm {m} }\\\nabla \times {\boldsymbol {E}}&=-\left({\dfrac {\partial {\boldsymbol {B}}}{\partial t}}+{\boldsymbol {J}}_{\mathrm {m} }\right)\\\nabla \cdot {\boldsymbol {D}}&=\rho _{\mathrm {e} }\\\nabla \times {\boldsymbol {H}}&={\boldsymbol {J}}_{\mathrm {e} }+{\dfrac {\partial {\boldsymbol {D}}}{\partial t}}\end{aligned}}\end{cases}}} あるいは電磁ポテンシャルを使えば次のようになる。(簡単のためローレンツゲージをとる) E = − ∇ ϕ e − ∂ A e ∂ t − 1 ε 0 ∇ × A m H = − ∇ ϕ m − ∂ A m ∂ t + 1 μ 0 ∇ × A e {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {E}}&=-\nabla \phi _{e}-{\frac {\partial {\boldsymbol {A}}_{\mathrm {e} }}{\partial t}}-{\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\nabla \times {\boldsymbol {A}}_{\mathrm {m} }\\{\boldsymbol {H}}&=-\nabla \phi _{m}-{\frac {\partial {\boldsymbol {A}}_{\mathrm {m} }}{\partial t}}+{\frac {1}{\mu _{0}}}\nabla \times {\boldsymbol {A}}_{\mathrm {e} }\end{aligned}}} { ( ∇ 2 − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 ) ϕ e = − ρ e ε 0 ( ∇ 2 − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 ) ϕ m = − ρ m μ 0 ( ∇ 2 − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 ) A e = − μ 0 J e ( ∇ 2 − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 ) A m = − ε 0 J m {\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}\left(\nabla ^{2}-{\dfrac {1}{c^{2}}}{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\phi _{\mathrm {e} }&=-{\dfrac {\rho _{\mathrm {e} }}{\varepsilon _{0}}}\\\left(\nabla ^{2}-{\dfrac {1}{c^{2}}}{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\phi _{\mathrm {m} }&=-{\dfrac {\rho _{\mathrm {m} }}{\mu _{0}}}\\\left(\nabla ^{2}-{\dfrac {1}{c^{2}}}{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right){\boldsymbol {A}}_{\mathrm {e} }&=-\mu _{0}{\boldsymbol {J}}_{\mathrm {e} }\\\left(\nabla ^{2}-{\dfrac {1}{c^{2}}}{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right){\boldsymbol {A}}_{\mathrm {m} }&=-\varepsilon _{0}{\boldsymbol {J}}_{\mathrm {m} }\end{aligned}}\end{cases}}} 磁気単極子は陽子の 10 16 {\displaystyle 10^{16}} 倍程度の質量を持ち、磁気単極子の磁荷 g {\displaystyle g} は次式で表される。 g = n h e {\displaystyle g={\frac {n\mathrm {h} }{\mathrm {e} }}} ここで h {\displaystyle \mathrm {h} } はプランク定数、 e {\displaystyle \mathrm {e} } は素電荷、 n {\displaystyle n} は任意の整数である。またこの関係式を「ディラックの量子化」と呼ぶ。 このとき磁荷 g {\displaystyle g} が電磁場から受ける力 F {\displaystyle F} は F = g ( H − v × D ) {\displaystyle {\boldsymbol {F}}=g({\boldsymbol {H}}-{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {D}})} と書ける。
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