ペアノ自身による記述

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ペアノ自身による記述

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/02 05:56 UTC 版)

「ペアノの公理」の記事における「ペアノ自身による記述」の解説

ペアノは 1889年に「Arithmetices Principia, nova methodo exposita（算術原理）」と題するラテン語で書かれた論文で自然数の公理の原型となるべきものを発表しているが、それらは自然数以外の公理を含み本来必要とされるよりも多くの命題が述べられているなど、自然数の公理系としては不十分なものであった。1889 年の記載は以下の通り。原論文には誤植があるが正しい形に修正。本論文では、この後、四則演算の定義などが続き、ここでは明示的に自然数を定義しようとしている。 1 は自然数 a が自然数なら a = a a, b が自然数で a = b なら b = a a, b, c が自然数で a = b, b = c なら a = c a = b で b が自然数なら a は自然数 a が自然数なら a + 1 は自然数 a, b が自然数で a = b なら a + 1 = b + 1 a が自然数なら、a + 1 と 1 は等しくない もし集合 K が、1 を含み かつ 自然数 x が K に含まれるなら x + 1 が K に含まれる、という条件を満たすなら K は全ての自然数を含む 現在ペアノの公理系として知られる形のものが発表されたのは 1891年の「数の概念について」である。この論文の中でペアノは次の 5 項目を自然数の満たすべき原始命題として与え、さらにこれら 5 つの命題が互いに独立であることを証明した。ペアノは現代の用語で言うところの公理と推論規則を合わせて原始命題と呼んだ。ここで挙げているものは公理にあたる。 1 は自然数である 任意の自然数 a に対して、a+ が自然数を与えるような右作用演算 + が存在する もし a, b を自然数とすると、 a+ = b+ ならば a = b である a+ = 1 を満たすような自然数 a は存在しない 集合s が二条件「(i) 1 は s に含まれる, (ii) 自然数 a が s に含まれるならば a+ も s に含まれる」を満たすならば、あらゆる自然数は s に含まれる。 ペアノがこれらの原始命題によって自然数そのものを定義しようとはしなかった点には注意を払う必要がある。彼は自然数の持つべき性質を挙げ、自然数 や 1 などの原始命題中に現れる用語を無定義述語として扱っている。これは後にヒルベルトらによって強力に進められることになる、形式主義的方法の格好の例といえる。